Einheitswurzel/Naiver Ansatz/Gabi Hochster/Aufgabe

Bei der Einführung der negativen Zahlen denkt sich Gabi Hochster: „Schön, jetzt haben wir also eine neue Zahl, diese ${}-1$, mit der Eigenschaft, dass sie von ${}1$ verschieden ist, und deren Quadrat

${}(-1)^{2}=1\,$

ist. Die ${}-1$ ist also eine Quadratwurzel der ${}1$. Da sollte es eigentlich doch auch zu jeder natürlichen Zahl ${}n\geq 3$ eine neue Zahl, nennen wir sie mal ${}z_{n}$, geben, die nicht ${}1$ ist, die aber auch

${}(z_{n})^{n}=1\,$

erfüllt. Mit dieser neuen Zahl sollte sich doch zusammen mit den Kommutativgesetzen, Assoziativgesetzen und dem Distributivgesetz ein sinnvoller Zahlenbereich, nennen wir ihn ${}Z_{n}$, ergeben. Ich schau mir die Sache zuerst mal für ${}n=3$ genauer an.“

1. Berechne

   ${\left(z_{3}\right)}^{17}.$

2. Berechne

   ${\left(5+11z_{3}+8z_{3}^{2}\right)}+{\left(6+8z_{3}+9z_{3}^{2}\right)}.$

3. Berechne

   ${\left(2+5z_{3}+z_{3}^{2}\right)}\cdot {\left(4+3z_{3}+2z_{3}^{2}\right)}.$

4. Gabi kommt auf die Idee, ihre Zahl ${}z_{3}$ in die Ebene einzuzeichnen. Da die ${}-1$ der ${}1$ auf der Zahlengeraden direkt gegenüberliegt, man also von der ${}1$ zur ${}-1$ mit einer ${}180={\frac {360}{2}}$ Grad Drehung um den Nullpunkt gelangt, setzt sie für ${}z_{3}$ von der ${}1$ ausgehend eine Drehung um den Nullpunkt um

   ${}{\frac {360}{3}}=120\,$

   Grad an, und die gleiche Länge wie die ${}1$. Skizziere die Situation. Wo platziert sie ${}z_{3}^{2}$?

5. Bestätige die Gleichung

   ${}x^{3}-1=(x-1){\left(x^{2}+x+1\right)}\,$

   für ein beliebiges ${}x\in \mathbb {Z}$.

6. Aufgrund von dieser Gleichung sagt Gabi, dass

   ${}z_{3}^{2}+z_{2}+1=0\,$

   gelten muss. Wie kommt sie darauf?

7. Kann man die zuletzt formulierte Eigenschaft für ${}z_{3}$ auch von der Skizze her begründen?

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