Einheitswurzel/Naiver Ansatz/Gabi Hochster/Aufgabe

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Bei der Einführung der negativen Zahlen denkt sich Gabi Hochster: „Schön, jetzt haben wir also eine neue Zahl, diese , mit der Eigenschaft, dass sie von verschieden ist, und deren Quadrat

ist. Die ist also eine Quadratwurzel der . Da sollte es eigentlich doch auch zu jeder natürlichen Zahl eine neue Zahl, nennen wir sie mal , geben, die nicht ist, die aber auch

erfüllt. Mit dieser neuen Zahl sollte sich doch zusammen mit den Kommutativgesetzen, Assoziativgesetzen und dem Distributivgesetz ein sinnvoller Zahlenbereich, nennen wir ihn , ergeben. Ich schau mir die Sache zuerst mal für genauer an.“

  1. Berechne
  2. Berechne
  3. Berechne
  4. Gabi kommt auf die Idee, ihre Zahl in die Ebene einzuzeichnen. Da die der auf der Zahlengeraden direkt gegenüberliegt, man also von der zur mit einer Grad Drehung um den Nullpunkt gelangt, setzt sie für von der ausgehend eine Drehung um den Nullpunkt um

    Grad an, und die gleiche Länge wie die . Skizziere die Situation. Wo platziert sie ?

  5. Bestätige die Gleichung

    für ein beliebiges .

  6. Aufgrund von dieser Gleichung sagt Gabi, dass

    gelten muss. Wie kommt sie darauf?

  7. Kann man die zuletzt formulierte Eigenschaft für auch von der Skizze her begründen?