Einheitswurzel/Naiver Ansatz/Gabi Hochster/Aufgabe/Lösung

Es ist
$\begin{matrix} z_{3}^{17} & = z_{3}^{3 \cdot 5 + 2} \\ = z_{3}^{3 \cdot 5} \cdot z_{3}^{2} \\ = {(z_{3}^{3})}^{5} \cdot z_{3}^{2} \\ = 1^{5} \cdot z_{3}^{2} \\ = z_{3}^{2} . \end{matrix}$
Es ist
$(5 + 11 z_{3} + 8 z_{3}^{2}) + (6 + 8 z_{3} + 9 z_{3}^{2}) = 11 + 19 z_{3} + 17 z_{3}^{2} .$
Es ist
$\begin{matrix} (2 + 5 z_{3} + z_{3}^{2}) \cdot (4 + 3 z_{3} + 2 z_{3}^{2}) & = 8 + 6 z_{3} + 4 z_{3}^{2} + 20 z_{3} + 15 z_{3}^{2} + 10 z_{3}^{3} + 4 z_{3}^{2} + 3 z_{3}^{3} + 2 z_{3}^{4} \\ = 8 + 6 z_{3} + 4 z_{3}^{2} + 20 z_{3} + 15 z_{3}^{2} + 10 + 4 z_{3}^{2} + 3 + 2 z_{3} \\ = 21 + 28 z_{3} + 23 z_{3}^{2} . \end{matrix}$
Durch distributives Ausmultiplizieren ergibt sich
$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} + x^{2} + x - x^{2} - x - 1 = x^{3} - 1 .$
Die Zahl $z_{3}$ erfüllt
$z_{3}^{3} - 1 = 0 .$

Daher muss nach der vorstehenden algebraischen Gleichung

$0 = z_{3}^{3} - 1 = (z_{3} - 1) (z_{3}^{2} + z_{3} + 1)$

gelten. Wegen $z_{3} \neq 1$ ist der linke Faktor nicht $0$ . Wenn man also für den neuen Zahlenbereich $Z_{3}$ auch die Nichtnullteilereigenschaft voraussetzt, so muss der andere Faktor gleich $0$ sein, also

$z_{3}^{2} + z_{3} + 1 = 0 .$
Die drei Punkte der Ebene $1, ζ_{3}, ζ_{3}^{2}$ bilden ein gleichseitiges Dreieck in der Ebene. Wenn man die Punkte vektoriell addiert, ergibt sich (der Schwerpunkt) $0$ .