Einsetzungshomomorphismus/X nach id/C^1(K,K)/Einheiten/Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R} {\text{ oder }}{\mathbb {C} }$ und es sei ${}D_{\mathbb {K} }=\operatorname {C} ^{1}({\mathbb {K} },{\mathbb {K} })$ der Ring der stetig-differenzierbaren Funktionen von ${}{\mathbb {K} }$ nach ${}{\mathbb {K} }$. Zeige, dass der Einsetzungshomomorphismus

$\Psi \colon {\mathbb {K} }[X]\longrightarrow D_{\mathbb {K} },\,X\longmapsto \operatorname {Id} _{\mathbb {K} },$

injektiv ist. Bestimme die Polynome ${}F\in {\mathbb {K} }[X]$, für die ${}\Psi (F)$ eine Einheit in ${}D_{\mathbb {K} }$ ist.

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