Eisensteinreihe/Modulform/Fakt/Beweis

Beweis

Die Funktionalgleichung folgt aus

${}{\begin{aligned}G_{k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)&=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}})^{k}}}\\&=(c\tau +d)^{k}\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m(c\tau +d)+n(a\tau +b))^{k}}}\\&=(c\tau +d)^{k}\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{((mc+na)\tau +(md+nb))^{k}}}\\&=(c\tau +d)^{k}\sum _{(r,s)\neq (0,0)}{\frac {1}{(r\tau +s)^{k}}}\\&=(c\tau +d)^{k}G_{k}(\tau ),\end{aligned}}$

wobei die vorletzte Gleichung darauf beruht, dass

${}{\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}}\,$

stets eine eindeutige Lösung besitzt. Die Holomorphie beruht aus Sätzen der Funktionentheorie.

Zur bewiesenen Aussage