Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

1. Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch

   ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

   definiert.

2. Das Element ${}p$ heißt prim, wenn es eine Nichteinheit ist und wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$, so teilt es einen der Faktoren.
3. Eine Abbildung

   $\psi \colon G\longrightarrow H$

   heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

   ${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

   für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

4. Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$.
5. Unter der Dimension eines Vektorraums ${}V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von ${}V$.
6. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, über der ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in L$ die Nullstellen von ${}F$. Dann nennt man

   ${}K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq L\,$

   einen Zerfällungskörper von ${}F$.

Zur gelösten Aufgabe