Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

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  1. Eine Gruppe ist ein Monoid, in dem jedes Element ein inverses Element besitzt.
  2. Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
  3. Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen und und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
    1. ist eine abelsche Gruppe.
    2. ist ein Monoid.
    3. Es gelten die Distributivgesetze, also und für alle .
  4. Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.

  5. Der Polynomring über besteht aus allen Polynomen
    mit ,

    und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

    definiert ist.

  6. Das Element heißt idempotent, wenn gilt.
  7. Man nennt die Menge

    den algebraischen Abschluss von in .

  8. Ein Kreis heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte , , derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt und durch den Punkt gleich ist.