Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Eine Gruppe ${}G$ ist ein Monoid, in dem jedes Element ein inverses Element besitzt.
2. Eine Gruppe ${}G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
3. Ein Ring ${}R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
   1. ${}(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
   2. ${}(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
   3. Es gelten die Distributivgesetze, also ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle ${}a,b,c\in R$.
4. Die Abbildung

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} },$

   heißt komplexe Konjugation.

5. Der Polynomring über ${}R$ besteht aus allen Polynomen

   $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

   mit ${}a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N}$,

   und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

   ${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

   definiert ist.

6. Das Element heißt idempotent, wenn ${}e^{2}=e$ gilt.
7. Man nennt die Menge

   ${}M={\left\{x\in L\mid x{\text{ ist algebraisch über }}K\right\}}\,$

   den algebraischen Abschluss von ${}K$ in ${}L$.

8. Ein Kreis ${}C\subseteq E$ heißt aus ${}M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte ${}Z,S\in M$, ${}Z\neq S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}Z$ und durch den Punkt ${}S$ gleich ${}C$ ist.

Zur gelösten Aufgabe