Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Ein Monoid ist eine Menge ${}M$ zusammen mit einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M$

   und einem ausgezeichneten Element ${}e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

   1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

      ${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

      für alle ${}x,y,z\in M$.

   2. ${}e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

      ${}x\circ e=x=e\circ x\,$

      für alle ${}x\in M$.

2. Man nennt die kleinste positive Zahl ${}n$ mit ${}g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von ${}g$. Wenn alle positiven Potenzen von ${}g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man ${}\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.
3. Das Element ${}a$ ist ein Nichtnullteiler, wenn für jedes ${}b\in R$ aus ${}ab=0$ folgt, dass ${}b=0$ ist.
4. Ein Körper ${}K$ ist ein kommutativer Ring, wenn ${}K\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element in ${}K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
5. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
   1. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
   2. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.
6. Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$.
7. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, über der ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in L$ die Nullstellen von ${}F$. Dann nennt man

   ${}K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq L\,$

   einen Zerfällungskörper von ${}F$.

8. Eine Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\cong E$ heißt konstruierbar, wenn sie aus der Startmenge

   $\{0,1\}\subset \mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$

   mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Zur gelösten Aufgabe