Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

1. Die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ bilden einen kommutativen Halbring.
2. Es seien ${}a,b\in \mathbb {N}$ zwei teilerfremde natürliche Zahlen. Dann gibt es ganze Zahlen ${}r,s\in \mathbb {Z}$ mit ${}ra+sb=1$.
3. Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}b>1$ mit der zugehörigen Exponentialfunktion

   $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$

   zur Basis ${}b$. Es sei ${}k$ eine natürliche Zahl. Dann gibt es ein ${}m\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq m$ die Abschätzung

   ${}\varphi _{b}(n)=b^{n}>n^{k}\,$

   gilt.

Zur gelösten Aufgabe