Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

1. Zu jeder natürlichen Zahl $n$ gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen $k$ und $r_0,r_1,r_2,\dots ,r_k$ mit $0\le r_i\le 9$ und mit $r_k\ne 0$ (außer bei $n=0$) mit der Eigenschaft

   $n=\sum _{i=0}^k{r}_{i}10^i.$

2. Es seien $n$ und $m$ positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen $n=\prod _p{p}^{{\nu }_p(n)}$ und $m=\prod _p{p}^{{\nu }_p(m)}$. Dann ist

   $\mathrm{kgV}(n,m)=\prod _p{p}^{max({\nu }_p(n),{\nu }_p(m))}$

   und

   $\mathrm{ggT}(n,m)=\prod _p{p}^{min({\nu }_p(n),{\nu }_p(m))}.$

3. Es seien $a,b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv und es seien $z_{-i}$, $i\in \mathbb{N}$, und $r_{-i}$, $i\in \mathbb{N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gibt es ein $k\in \mathbb{N}$ und ein $\ell \in {\mathbb{N}}_{+}$ mit  $\ell <b$  derart, dass für die Ziffern mit  $i>k$  die Beziehung

   $z_{-i-\ell }=z_{-i}$

   gilt.

Zur gelösten Aufgabe