Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

1. Zu jeder natürlichen Zahl ${}n$ gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen ${}k$ und ${}r_{0},r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}$ mit ${}0\leq r_{i}\leq 9$ und mit ${}r_{k}\neq 0$ (außer bei $n=0$) mit der Eigenschaft

   ${}n=\sum _{i=0}^{k}r_{i}10^{i}\,.$

2. Es seien ${}n$ und ${}m$ positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen ${}n=\prod _{p}p^{\exp _{p}(n)}$ und ${}m=\prod _{p}p^{\exp _{p}(m)}$. Dann ist

   ${}\operatorname {kgV} (n,m)=\prod _{p}p^{\max {\left({\exp _{p}(n)},{\exp _{p}(m)}\right)}}\,$

   und

   ${}\operatorname {ggT} (n,m)=\prod _{p}p^{\min {\left({\exp _{p}(n)},{\exp _{p}(m)}\right)}}\,.$

3. Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv und es seien ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, und ${}r_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gibt es ein ${}k\in \mathbb {N}$ und ein ${}\ell \in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}\ell <b$ derart, dass für die Ziffern mit ${}i>k$ die Beziehung

   ${}z_{-i-\ell }=z_{-i}\,$

   gilt.

Zur gelösten Aufgabe