Elementare und algebraische Zahlentheorie/1/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 6 }
\renewcommand{\aneun}{ 8 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 8 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein
\stichwort {Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Das \stichwort {Legendre-Symbol} {.}
}{Eine \stichwort {Mersennesche Primzahl} {.}
}{Der
\stichwort {ganze Abschluss} {}
zu einer Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kommutativer Ringe.
}{Die \stichwort {Konjugation} {} in einem quadratischen Zahlbereich $A_D$.
}{Eine \stichwort {einfache} {} binäre quadratische Form. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {erste Ergänzungssatz} {} zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.}{Der \stichwort {Primzahlsatz} {.}}{Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+2+1)}
{
a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der $1$ für die beiden Zahlen $19$ und $109$.
b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(2071)
}
{ \cong} { \Z/(19) \times \Z/(109)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Welche Restklasse modulo $2071$ entspricht dem Restklassenpaar $(1 ,0)$ und welche dem Paar $( 0,1 )$?
c) Bestimme diejenige Restklasse modulo $2071$, die modulo $19$ den Rest $5$ hat und die modulo $109$ den Rest $10$ hat.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+2+1)}
{
Es seien $a,b \geq 2$ und sei $n=ab$.
a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.
b) Es sei $a \neq b$. Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$?
c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30} -1$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left( \frac{ 563 }{ 1231 }\right)} { . }
Bemerkung: $563$ und $1231$ sind Primzahlen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass es
\definitionsverweis {überabzählbar}{}{}
viele
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
der multiplikativen Gruppe
\mathl{( \Q^{\times}, \cdot, 1 )}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+2+2)}
{
Bekanntlich gilt die Gruppenisomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R_+ \times S^1
}
{ \cong} { {\mathbb C}^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei einem Paar
\mathl{(r,s)}{} die komplexe Zahl
\mathl{r \cdot s}{} entspricht. Entsprechend gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {} { \Q_+ \times S^1_\Q } { \Q[ { \mathrm i}] ^{\times}
} {(r,s)} { r \cdot s
} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist.
}{Zeige, dass jedes Quadrat aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i}] ^{\times}}{} zum Bild gehört.
}{Man gebe ein Beispiel für ein
\mathl{z \in \Q[ { \mathrm i}] ^{\times}}{,} das kein Quadrat ist und zum Bild gehört.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Charakterisierungssatz für gerade vollkommene Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Zeige, dass in
\mathl{\Z/(29)}{} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4 +y^4 +z^4
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0,0)}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
von ${\mathfrak p}$ eine echte Primzahlpotenz ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Für welche
\definitionsverweis {quadratfreien Zahlen}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} {1 \mod 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{{ \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }}{} eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0)
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g)
}
{ \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ K^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A_{-5}
}
{ = }{ \Z[\sqrt{-5}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D = -5}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{(2,1+\sqrt{-5})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne die Anzahl der Elemente im Restklassenring
\mathl{A_{-5}/{\mathfrak a}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} {}
\definitionsverweis {gebrochene Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} \cdot {\mathfrak g}
}
{ =} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g}
}
{ =} { {\mathfrak f}^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}