Elementare und algebraische Zahlentheorie/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	5	4	4	6	8	6	2	2	8	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$ .
Das Legendre-Symbol.
Eine Mersennesche Primzahl.
Der ganze Abschluss zu einer Erweiterung ${}R\subseteq S$ kommutativer Ringe.
Die Konjugation in einem quadratischen Zahlbereich ${}A_{D}$ .
Eine einfache binäre quadratische Form.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
Der Primzahlsatz.
Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.

Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)

a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der ${}1$ für die beiden Zahlen ${}19$ und ${}109$ .

b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie

{}\mathbb {Z} /(2071)\cong \mathbb {Z} /(19)\times \mathbb {Z} /(109)\,.

Welche Restklasse modulo ${}2071$ entspricht dem Restklassenpaar ${}(1,0)$ und welche dem Paar ${}(0,1)$ ?

c) Bestimme diejenige Restklasse modulo ${}2071$ , die modulo ${}19$ den Rest ${}5$ hat und die modulo ${}109$ den Rest ${}10$ hat.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Es seien ${}a,b\geq 2$ und sei ${}n=ab$ .

a) Zeige, dass die beiden Polynome ${}X^{a}-1$ und ${}X^{b}-1$ Teiler des Polynoms ${}X^{n}-1$ sind.

b) Es sei ${}a\neq b$ . Ist ${}(X^{a}-1)(X^{b}-1)$ stets ein Teiler von ${}X^{n}-1$ ?

c) Man gebe drei Primfaktoren von ${}2^{30}-1$ an.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

\left({\frac {563}{1231}}\right).

Bemerkung: ${}563$ und ${}1231$ sind Primzahlen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass es überabzählbar viele Untergruppen der multiplikativen Gruppe ${}(\mathbb {Q} ^{\times },\cdot ,1)$ gibt.

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Bekanntlich gilt die Gruppenisomorphie

{}\mathbb {R} _{+}\times S^{1}\cong {\mathbb {C} }^{\times }\,,

wobei einem Paar ${}(r,s)$ die komplexe Zahl ${}r\cdot s$ entspricht. Entsprechend gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

\mathbb {Q} _{+}\times S_{\mathbb {Q} }^{1}\longrightarrow \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times },\,(r,s)\longmapsto r\cdot s.

Zeige, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist.
Zeige, dass jedes Quadrat aus ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ zum Bild gehört.
Man gebe ein Beispiel für ein ${}z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ , das kein Quadrat ist und zum Bild gehört.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für gerade vollkommene Zahlen.

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass in ${}\mathbb {Z} /(29)$ die Gleichung

{}x^{4}+y^{4}+z^{4}=0\,

nur die triviale Lösung ${}(0,0,0)$ besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es sei ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal. Zeige, dass die Norm von ${}{\mathfrak {p}}$ eine echte Primzahlpotenz ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Für welche quadratfreien Zahlen mit

{}D=1\mod 4\,

ist ${}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ eine Einheit?

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

\nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${}\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}$ für alle ${}f,g\in K^{\times }$ . Zeige, dass

{}R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,

ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Sei ${}A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-5$ . Sei ${}{\mathfrak {a}}=(2,1+{\sqrt {-5}})$ . Berechne die Anzahl der Elemente im Restklassenring ${}A_{-5}/{\mathfrak {a}}$ .