Elementare und algebraische Zahlentheorie/1/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 3 5 4 4 6 8 6 2 2 8 2 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  2. Das Legendre-Symbol.
  3. Eine Mersennesche Primzahl.
  4. Der ganze Abschluss zu einer Erweiterung kommutativer Ringe.
  5. Die Konjugation in einem quadratischen Zahlbereich .
  6. Eine einfache binäre quadratische Form.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
  2. Der Primzahlsatz.
  3. Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.


Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)

a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der für die beiden Zahlen und .

b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie

Welche Restklasse modulo entspricht dem Restklassenpaar und welche dem Paar ?

c) Bestimme diejenige Restklasse modulo , die modulo den Rest hat und die modulo den Rest hat.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.


Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Seien und sei .

a) Zeige, dass die beiden Polynome und Teiler des Polynoms sind.


b) Sei . Ist stets ein Teiler von ?


c) Man gebe drei Primfaktoren von an.


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

Bemerkung: und sind Primzahlen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass es überabzählbar viele Untergruppen der multiplikativen Gruppe gibt.


Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Bekanntlich gilt die Gruppenisomorphie

wobei einem Paar die komplexe Zahl entspricht. Entsprechend gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

  1. Zeige, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist.
  2. Zeige, dass jedes Quadrat aus zum Bild gehört.
  3. Man gebe ein Beispiel für ein , das kein Quadrat ist und zum Bild gehört.


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für gerade vollkommene Zahlen.


Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass in die Gleichung

nur die triviale Lösung besitzt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Zahlbereich und es sei ein Primideal. Zeige, dass die Norm von eine echte Primzahlpotenz ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Für welche quadratfreien Zahlen mit

ist eine Einheit?


Aufgabe * (8 Punkte)

Sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Sei . Berechne die Anzahl der Elemente im Restklassenring .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und gebrochene Ideale in einem Zahlbereich . Es gelte

Zeige, dass dann

ist.