Elementare und algebraische Zahlentheorie/100/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	1	3	3	10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	17

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(5)$ .

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {25}}$ in ${}\mathbb {Z} /(89)$ .

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {37}}$ in ${}\mathbb {Z} /(89)$ .

Wir betrachten auf ${}\mathbb {N} _{+}$ die Relation ${}\sim$ , die durch

{}m\sim n\,

festgelegt ist, falls ${}m$ eine Potenz von ${}n$ und ${}n$ eine Potenz von ${}m$ teilt.

Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.
$100,\,1000,\,9,\,125,\,500,\,27,\,10,\,210.$
Es sei ${}Q$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei ${}\mathbb {P}$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$ . Zeige, dass es eine natürliche Abbildung
$\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$

gibt, die zu einer injektiven Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$

führt. Ist ${}{\tilde {\varphi }}$ surjektiv?
Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?