Elementare und algebraische Zahlentheorie/11/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 0 }
\renewcommand{\avier}{ 0 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 0 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 30 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein
\stichwort {Primelement} {}
\mathl{p \in R, \, p \neq 0}{,} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Die
\stichwort {eulersche Funktion} {}
\mathl{\varphi(n)}{} zu
\mathl{n \in \N}{.}
}{Die \stichwort {Primzahlfunktion} {.}
}{Ein \stichwort {lokaler} {} Ring.
}{Ein \stichwort {Hauptdivisor} {} zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
aus dem Quotientenkörper zu einem Zahlbereich $R$.
}{Eine \stichwort {quadratische Form} {} auf einem $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $L$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der \stichwort {erste Ergänzungssatz} {} zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.}{Der Satz über die diophantische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^4+y^4
}
{ = }{ z^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Der Satz über die Restklassenringe von Zahlbereichen.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
a) Finde die Zahlen
\mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 9 \}}{} mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates
\zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {}
gleich $z$ ist.
b) Finde die Zahlen
\mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 99 \}}{} mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates
\zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {}
gleich $z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R
} {g} {fg
} {,}
wann $f$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
und wann $f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{
Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass
\mathl{a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left(\frac{a}{n}\right)}{} in $\Z/(n)$ gilt.
a) $n = 49$.
b) $n = 75$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{p \in R}{} ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}
Zeige, dass $p$ auch im Polynomring
\mathl{R[X]}{} prim ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $D \neq 1$ eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
mit
\mathl{D=1 \mod 4}{,} und sei $A_D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für
\mathl{\frac{1 - \sqrt{D} }{2}}{} über $\Z$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe
\mathl{\Z[\sqrt{D}] \subset R \subset A_D}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs $A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \sqrt{-7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf und berechne damit die Spur und die Norm von $f$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}