Elementare und algebraische Zahlentheorie/11/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 0 4 3 4 0 0 5 0 4 4 0 0 0 30



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Primelement , in einem kommutativen Ring .
  2. Die eulersche Funktion zu .
  3. Die Primzahlfunktion.
  4. Ein lokaler Ring.
  5. Ein Hauptdivisor zu einem Element , , aus dem Quotientenkörper zu einem Zahlbereich .
  6. Eine quadratische Form auf einem -Modul .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
  2. Der Satz über die diophantische Gleichung .
  3. Der Satz über die Restklassenringe von Zahlbereichen.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

a) Finde die Zahlen mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ist.

b) Finde die Zahlen mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen eine zu teilerfremde Zahl derart, dass in gilt.

a) .

b) .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Primelement. Zeige, dass auch im Polynomring prim ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei eine quadratfreie Zahl mit , und sei der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für über an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs . Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

auf und berechne damit die Spur und die Norm von .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)