Elementare und algebraische Zahlentheorie/13/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 0 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 41 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{\stichwort {Befreundete Zahlen} {.}
}{Die
\stichwort {Faltung} {}
von zahlentheoretischen Funktionen
\mathl{f,g}{.}
}{Ein \stichwort {noetherscher} {} Ring.
}{Die
\stichwort {Spur} {}
zu einem Element
\mathl{f \in L}{} bei einer
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mathl{K \subseteq L}{.}
}{Die \stichwort {Ordnung} {} zu einem Element \mathind { f \in R } { f \neq 0 }{,} in einem \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{} $R$.
}{Ein \stichwort {gebrochenes Hauptideal} {} zu einem Zahlbereich $R$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt/Name}{Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Name}{Zahlbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt/Name}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $999999$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme in
\mathl{{\Z}[{ \mathrm i}]}{} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{7+4{ \mathrm i}}{} und
\mathl{5+3{ \mathrm i}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme in
\mathl{\Z/(11)[X]}{} den
\zusatzklammer {normierten} {} {}
größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome
\mathdisp {X^4+2X^3 +2X^2 +3 \, \, \, \text{ und } \, \, \, X^2+ 7X + 10} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von
\mathl{100!}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne
\mathl{24^{1000000}}{} in
\mathl{\Z/(35)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass $-3$ genau dann ein Quadratrest modulo einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{0,1 \mod 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass jedes Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme eine ganze Zahl
\mathl{n}{} derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 +3 x + { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\Q[\sqrt{n}]}{} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Norm}{}{} von \mathkor {} {\sqrt{D}} {und von} {{ \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $\Z_n$ die Nenneraufnahme zu $n$
\zusatzklammer {$\Z_n$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann} {} {.}
Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe $R$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq} { R
}
{ \subseteq} { \Z_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von $n$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}