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Elementare und algebraische Zahlentheorie/13/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 1 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 2 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 45 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{K}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{\stichwort {Befreundete Zahlen} {.}

}{Die \stichwort {Faltung} {} von zahlentheoretischen Funktionen
\mathl{f,g}{.}

}{Ein \stichwort {noetherscher} {} Ring.

}{Die \stichwort {Spur} {} zu einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ L }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} bei einer \definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mathl{K \subseteq L}{.}

}{Die \stichwort {Ordnung} {} zu einem Element \mathind { f \in R } { f \neq 0 }{,} in einem \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{} $R$.

}{Ein \stichwort {gebrochenes Hauptideal} {} zu einem Zahlbereich $R$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $999999$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme in
\mathl{{\Z}[{ \mathrm i}]}{} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{7+4{ \mathrm i}}{} und
\mathl{5+3{ \mathrm i}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Z/(6)$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme in
\mathl{\Z/(11)[X]}{} den \zusatzklammer {normierten} {} {} größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome
\mathdisp {X^4+2X^3 +2X^2 +3 \, \, \, \text{ und } \, \, \, X^2+ 7X + 10} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme, für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Binomialkoeffizient}{}{}
\mathdisp {\binom { n } { 2 }} { }
eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von
\mathl{100!}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Berechne
\mathl{24^{1000000}}{} in
\mathl{\Z/(35)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige, dass $-3$ genau dann ein Quadratrest modulo einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ \neq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{0,1 \mod 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige, dass jedes Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} enthält.

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme eine ganze Zahl $n$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 +3 x + { \frac{ 7 }{ 3 } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in
\mathl{\Q[\sqrt{n}]}{} liegen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Norm}{}{} von \mathkor {} {\sqrt{D}} {und von} {{ \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Es sei $\Z_n$ die Nenneraufnahme zu $n$ \zusatzklammer {$\Z_n$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann} {} {.} Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe $R$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z }
{ \subseteq} { R }
{ \subseteq} { \Z_n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von $n$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}