Zum Inhalt springen

Elementare und algebraische Zahlentheorie/14/Klausur/latex

Aus Wikiversity

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 0 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 5 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 2 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 41 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{K}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Produktring} {} zu kommutativen Ringen
\mathl{R_1 , \ldots , R_n}{.}

}{Ein über einem Körper $K$ \stichwort {algebraisches} {} Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einer $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $A$.

}{Ein \stichwort {maximales} {} Ideal
\mathl{{\mathfrak m}}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.

}{Ein \stichwort {diskreter Bewertungsring} {.}

}{Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff }{Eine \stichwort {binäre quadratische Form} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Man gebe zwei Primfaktoren von
\mathl{2^{35} -1}{} an.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (2+1)}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine natürliche Zahl. \aufzaehlungzwei {Bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von \mathkor {} {(n!)^2} {und} {(n-1)! \cdot (n+1)!} {.} } {Bestimme das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von \mathkor {} {(n!)^2} {und} {(n-1)! \cdot (n+1)!} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Bestimme das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von \mathkor {} {116901} {und} {138689} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{

\aufzaehlungzwei {Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+10}{} und
\mathl{x+20}{} Primzahlen sind? } {Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+10}{} und
\mathl{x+20}{} Primzahlen sind? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte
\mathl{i \cdot j}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq }{ i,j }
{ \leq }{ 9 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stehen. \aufzaehlungdrei{Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale \zusatzklammer {von links oben nach rechts unten} {} {} eine Quadratzahl? }{Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale eine Kubikzahl? }{Ist das Produkt über alle Einträge in der Nebendiagonale \zusatzklammer {von links unten nach rechts oben} {} {} eine Quadratzahl? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestätige die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (-2+ { \mathrm i})^3 + (-2- { \mathrm i} )^3 }
{ =} { (1+ { \mathrm i})^4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Man gebe ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \Q[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} an, das nicht zu
\mathl{\Z[X]}{} gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl $n$ gilt:
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(n) }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{


a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ =} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ \neq} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ =} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{

\aufzaehlungzwei {Finde eine ganzzahlige Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(x,y) }
{ \in }{ \Z \times \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Zeige, dass
\mathdisp {\left( { \frac{ 383 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 129 }{ 100 } } \right)} { }
eine Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beschreibe den \definitionsverweis {Körper}{}{} mit neun Elementen $\mathbb F_9$ als einen \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} von
\mathl{\Z/(3)[X]}{.} Man gebe eine \definitionsverweis {primitive Einheit}{}{} in $\mathbb F_9$ an.

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}