Elementare und algebraische Zahlentheorie/14/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	2	3	5	4	3	2	2	3	4	3	0	4	0	41

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Produktring zu kommutativen Ringen ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$.
2. Ein über einem Körper ${}K$ algebraisches Element ${}f\in A$ einer ${}K$-Algebra ${}A$.
3. Ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Ein diskreter Bewertungsring.
5. Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff
6. Eine binäre quadratische Form.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Name
2. Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Name
3. Quadratischer Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt/Name

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe zwei Primfaktoren von ${}2^{35}-1$ an.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl.

1. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}(n!)^{2}$ und ${}(n-1)!\cdot (n+1)!$.
2. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}(n!)^{2}$ und ${}(n-1)!\cdot (n+1)!$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}116901$ und ${}138689$.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

1. Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte ${}i\cdot j$ mit ${}1\leq i,j\leq 9$ stehen.

1. Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) eine Quadratzahl?
2. Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale eine Kubikzahl?
3. Ist das Produkt über alle Einträge in der Nebendiagonale (von links unten nach rechts oben) eine Quadratzahl?

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die Gleichung

${}(-2+{\mathrm {i} })^{3}+(-2-{\mathrm {i} })^{3}=(1+{\mathrm {i} })^{4}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu ${}\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${}n$ gilt: ${}P(n)\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,.$

2. Zeige, dass

   $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,$

   ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Beschreibe den Körper mit neun Elementen ${}\mathbb {F} _{9}$ als einen Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${}\mathbb {F} _{9}$ an.

Aufgabe (0 Punkte)