Elementare und algebraische Zahlentheorie/14/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 0 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
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\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 30 }
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\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
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\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Der
\stichwort {Produktring} {}
zu kommutativen Ringen
\mathl{R_1 , \ldots , R_n}{.}
}{Ein über einem Körper $K$ \stichwort {algebraisches} {} Element $f \in A$ einer $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $A$.
}{Ein
\stichwort {maximales} {}
Ideal
\mathl{{\mathfrak m}}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Ein \stichwort {diskreter Bewertungsring} {.}
}{Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff }{Eine \stichwort {binäre quadratische Form} {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Das Produkt
\mathdisp {R_1 \times \cdots \times R_n} { , }
versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, heißt der Produktring der gegebenen Ringe.
}{Das Element $f$ heißt algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} mit
\mathl{P(f)=0}{} gibt.
}{Das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$ heißt maximal, wenn
\mathl{{\mathfrak m} \neq R}{} ist und wenn es zwischen ${\mathfrak m}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.
}{Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
mit der Eigenschaft, dass es bis auf
\definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{}
genau ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
in $R$ gibt.
}{Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff/Inhalt
}{Unter einer
binären quadratischen Form
versteht man einen Ausdruck der Gestalt
\mathdisp {aX^2+bXY+cY^2} { }
mit
\mathl{a,b,c \in \Z}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Name}{Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Name}{Quadratischer Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt/Name}
}
{
\aufzaehlungdrei{Die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
der Kehrwerte der
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{,}
also
\mathdisp {\sum_{p \in {\mathbb P} } \frac{1}{p}} { }
\definitionsverweis {divergiert}{}{.}}{Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
und sei ${\mathfrak m}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
in $R$. Dann ist die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathdisp {R_{\mathfrak m}} { }
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{A_D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.}
Dann ist die
\definitionsverweis {Divisorenklassengruppe}{}{}
von $R$ eine endliche Gruppe.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Man gebe zwei Primfaktoren von
\mathl{2^{35} -1}{} an.
}
{
Es ist stets
\mathl{X^k-1}{} ein Teiler von
\mathl{X^{km}-1}{,} da
\mathl{Y-1}{} ein Teiler von $Y^m-1$ ist. Deshalb sind
\mathl{2^5-1=31}{} und
\mathl{2^7-1=127}{} Teiler von
\mathl{2^{35}-1}{.} Das sind beide Primzahlen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+3)}
{
\aufzaehlungzwei {Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+10}{} und
\mathl{x+20}{} Primzahlen sind?
} {Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+10}{} und
\mathl{x+20}{} Primzahlen sind?
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Die Zahlen
\mathl{3,13,23}{} sind Primzahlen.
} {Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Tripel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von $x, x+10, x+20$ bei Division durch $3$. Wenn $r$ der Rest von $x$ ist, so sind die beiden anderen Reste gleich
\mathl{r+1}{} bzw.
\mathl{r+2}{.} Somit muss eine der drei Zahlen den Rest $0$ besitzen, also ein Vielfaches von $3$ sein. Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausgeschlossen ist, können nicht alle drei Zahlen Primzahlen sein.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestätige die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (-2+ { \mathrm i})^3 + (-2- { \mathrm i} )^3
}
{ =} { (1+ { \mathrm i})^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Auf der einen Seite ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(-2+ { \mathrm i})^3
}
{ =} { -8 +12 { \mathrm i} +6 - { \mathrm i}
}
{ =} { -2 +11 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(-2 - { \mathrm i})^3
}
{ =} { -8 -12 { \mathrm i} +6 + { \mathrm i}
}
{ =} { -2 -11 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Summe daraus ist $-4$. Auf der anderen Seite ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (1+ { \mathrm i})^4
}
{ = }{ 1 +4 { \mathrm i} -6 -4 { \mathrm i} +1
}
{ = }{ -4
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.
}
{
Es sei
\mathl{a \in R}{} eine Einheit. Dann gibt es ein
\mathl{b \in R}{} mit
\mathl{ab=1}{} und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R^{\times}
}
{ \subseteq} { R[X]^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \sum_{i = 0 }^d a_i X^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{a_d \neq 0}{}} {} {}
eine Einheit in
\mathl{R[X]}{.} Dann gibt es ein Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { \sum_{j = 0 }^e b_j X^{j}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{b_e \neq 0}{}} {} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{PQ
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $R$ ein Integritätsbereich ist, ist
\mathl{a_db_e \neq 0}{} und das Produkt hat die Gestalt
\mathdisp {a_db_e X^{d+e} + \text{Terme von kleinerem Grad}} { . }
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d+e
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_d b_e
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das Polynom ist also eine konstante Einheit.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Man gebe ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an, das nicht zu
\mathl{\Z[X]}{} gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl $n$ gilt:
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(n)
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Betrachte das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \frac{X(X-1)}{2}
}
{ =} { \frac{X^2}{2} - \frac{X}{2}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Koeffizienten liegen in $\Q$, aber nicht in $\Z$. Wenn man in dieses Polynom eine ganze Zahl $n$ einsetzt, so ist genau eine der Zahlen $n$ und $n-1$ gerade. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(n)
}
{ = }{ \frac{n(n-1)}{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganzzahlig.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+1+2)}
{
a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ =} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ \neq} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ =} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^2+4^2
}
{ =} { 5^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 3 }{ 6 } } \right) }^2 + { \left( { \frac{ 4 }{ 6 } } \right) }^2
}
{ =} { { \left( { \frac{ 5 }{ 6 } } \right) }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.
b) Wir nehmen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ { \frac{ 3 }{ 6 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ = }{ { \frac{ 4 }{ 6 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Summe ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ =} { { \left( { \frac{ 5 }{ 6 } } \right) }^2
}
{ \neq} {{ \left( { \frac{ 1 }{ 6 } } \right) }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a
}
{ =} {b
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{;}
diese Zahl ist irrational, da $\sqrt{2}$ irrational ist. Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } \right) }^2 + { \left( { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 \cdot 2 } } + { \frac{ 1 }{ 4 \cdot 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{{ \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Finde eine ganzzahlige Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in }{ \Z \times \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Zeige, dass
\mathdisp {\left( { \frac{ 383 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 129 }{ 100 } } \right)} { }
eine Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {$(5,3)$ ist eine ganzzahlige Lösung.
} {Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \frac{ 383 }{ 1000 } } \right) }^2 - { \left( { \frac{ 129 }{ 100 } } \right) }^3 +2
}
{ =} { { \left( { \frac{ 146 689 }{ 1000000 } } \right) } - { \left( { \frac{ 2 146 689 }{ 1000000 } } \right) } +2
}
{ =} {{ \left( { \frac{ 146 689 - 2 146 689 }{ 1000000 } } \right) } +2
}
{ =} { { \left( { \frac{ - 2 000000 }{ 1000000 } } \right) } +2
}
{ =} { -2+2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beschreibe den
\definitionsverweis {Körper}{}{} mit neun Elementen $\mathbb F_9$ als einen
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
von
\mathl{\Z/(3)[X]}{.} Man gebe eine
\definitionsverweis {primitive Einheit}{}{} in $\mathbb F_9$ an.
}
{
In $\Z/(3)$ ist $2$ kein Quadrat, wie man direkt nachrechnet. Daher ist $X^2-2=X^2+1 \in \Z/(3)[X]$ ein irreduzibles Polynom und daher ist der Restklassenring
\mathdisp {\Z/(3)[X]/(X^2+1)} { }
ein Körper. Jedes Element wird dabei eindeutig geschrieben in der Form $ax+b$
\zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {}
mit $a,b \in \Z/(3)$, so dass es sich um einen Körper mit $9$ Elementen handelt.
Die Einheitengruppe von diesem Körper besitzt $8$ Elemente. Alle Elemente haben also eine Zweierpotenz als Ordnung, und wir brauchen ein Element der Ordnung $8$. Wir betrachten das Element $x+1$.
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x+1)^2
}
{ =} {x^2+2x+1
}
{ =} {2x+3
}
{ =} {2x
}
{ \neq} {1
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2x)^2
}
{ =} {4x^2
}
{ =} {x^2
}
{ =} {2
}
{ \neq} {1
}
}
{}{}{.}
Daher ist die Ordnung von $x+1$ weder $1$ noch $2$ noch $4$, also muss sie gleich $8$ sein und es liegt ein primitives Element vor.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}