Elementare und algebraische Zahlentheorie/14/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	2	3	5	4	3	2	2	3	4	3	0	4	0	41

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Produktring zu kommutativen Ringen ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$.
2. Ein über einem Körper ${}K$ algebraisches Element ${}f\in A$ einer ${}K$-Algebra ${}A$.
3. Ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Ein diskreter Bewertungsring.
5. Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff
6. Eine binäre quadratische Form.

Lösung

1. Das Produkt

   $R_{1}\times \cdots \times R_{n},$

   versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, heißt der Produktring der gegebenen Ringe.

2. Das Element ${}f$ heißt algebraisch über ${}K$, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ gibt.
3. Das Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ heißt maximal, wenn ${}{\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ keine weiteren Ideale gibt.
4. Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.
5. Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff/Inhalt
6. Unter einer binären quadratischen Form versteht man einen Ausdruck der Gestalt

   $aX^{2}+bXY+cY^{2}$

   mit ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Name
2. Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Name
3. Quadratischer Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt/Name

Lösung

1. Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also

   $\sum _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{p}}$

   divergiert.
2. Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in ${}R$. Dann ist die Lokalisierung

   $R_{\mathfrak {m}}$

   ein

   diskreter Bewertungsring.
3. Sei ${}R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Dann ist die Divisorenklassengruppe von ${}R$ eine endliche Gruppe.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe zwei Primfaktoren von ${}2^{35}-1$ an.

Lösung

Es ist stets ${}X^{k}-1$ ein Teiler von ${}X^{km}-1$, da ${}Y-1$ ein Teiler von ${}Y^{m}-1$ ist. Deshalb sind ${}2^{5}-1=31$ und ${}2^{7}-1=127$ Teiler von ${}2^{35}-1$. Das sind beide Primzahlen.

Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl.

1. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}(n!)^{2}$ und ${}(n-1)!\cdot (n+1)!$.
2. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}(n!)^{2}$ und ${}(n-1)!\cdot (n+1)!$.

Lösung

1. Es ist

   ${}(n!)^{2}=(n!)(n!)=n\cdot (n-1)!\cdot n!\,$

   und

   ${}(n-1)!(n+1)!=(n-1)!\cdot (n+1)n!=(n+1)(n-1)!\cdot n!\,.$

   Daher ist ${}(n-1)!\cdot n!$ ein gemeinsamer Teiler der beiden Zahlen. Die beiden anderen Faktoren, also ${}n$ bzw. ${}n+1$ sind teilerfremd, da ihr Abstand ${}1$ ist. Somit tragen diese Faktoren nicht zum größten gemeinsamen Teiler bei und daher ist der größte gemeinsame Teiler gleich ${}(n-1)!\cdot n!$.

2. Nach Fakt und Teil (1) ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen gleich

   ${}{\frac {(n!)(n!)(n-1)!(n+1)!}{(n-1)!\cdot n!}}=(n!)(n+1)!\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}116901$ und ${}138689$.

Lösung

Wir bestimmen zuerst den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen mit Hilfe des euklidischen Algorithmus. Es ist

${}138689=116901+21788\,.$

Sodann ist

${}116901=5\cdot 21788+7961\,,$

${}21788=2\cdot 7961+5866\,,$

${}7961=5866+2095\,,$

${}5866=2\cdot 2095+1676\,,$

${}2095=1676+419\,,$

${}1676=4\cdot 419\,.$

Der ${}\operatorname {GgT}$ der beiden Zahlen ist also ${}419$. Daher ist das ${}\operatorname {KgV}$ der beiden Zahlen nach Fakt gleich

${}{\frac {116901\cdot 138689}{419}}=279\cdot 138689=38694231\,.$

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

1. Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?

Lösung

1. Die Zahlen ${}3,13,23$ sind Primzahlen.
2. Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Tripel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von ${}x,x+10,x+20$ bei Division durch ${}3$. Wenn ${}r$ der Rest von ${}x$ ist, so sind die beiden anderen Reste gleich ${}r+1$ bzw. ${}r+2$. Somit muss eine der drei Zahlen den Rest ${}0$ besitzen, also ein Vielfaches von ${}3$ sein. Da ${}x=3$ ausgeschlossen ist, können nicht alle drei Zahlen Primzahlen sein.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte ${}i\cdot j$ mit ${}1\leq i,j\leq 9$ stehen.

1. Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) eine Quadratzahl?
2. Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale eine Kubikzahl?
3. Ist das Produkt über alle Einträge in der Nebendiagonale (von links unten nach rechts oben) eine Quadratzahl?

Lösung

1. Das Produkt der Einträge der Hauptdiagonale ist

   $1^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}\cdots 8^{2}\cdot 9^{2},$

   also ein Produkt von Quadratzahlen und damit selbst eine Quadratzahl.

2. Im Produkt der Einträge der Hauptdiagonale kommt der Primfaktor ${}5$ nur als ${}5^{2}$ in der Mitte vor, der Exponent des Primfaktors ${}5$ ist also ${}2$ und kein Vielfaches von ${}3$, wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung kann das Produkt also keine Kubikzahl sein.
3. Das Produkt der Einträge der Nebendiagonale ist

   ${}(1\cdot 9)(2\cdot 8)(3\cdot 7)(4\cdot 6)(5\cdot 5)(6\cdot 4)(7\cdot 3)(8\cdot 2)(9\cdot 1)=(1\cdot 9)^{2}(2\cdot 8)^{2}(3\cdot 7)^{2}(4\cdot 6)^{2}\cdot 5^{2}\,,$

   dies ist also eine Quadratzahl.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die Gleichung

${}(-2+{\mathrm {i} })^{3}+(-2-{\mathrm {i} })^{3}=(1+{\mathrm {i} })^{4}\,.$

Lösung

Auf der einen Seite ist

${}(-2+{\mathrm {i} })^{3}=-8+12{\mathrm {i} }+6-{\mathrm {i} }=-2+11{\mathrm {i} }\,$

und

${}(-2-{\mathrm {i} })^{3}=-8-12{\mathrm {i} }+6+{\mathrm {i} }=-2-11{\mathrm {i} }\,,$

die Summe daraus ist ${}-4$. Auf der anderen Seite ist ${}(1+{\mathrm {i} })^{4}=1+4{\mathrm {i} }-6-4{\mathrm {i} }+1=-4$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Lösung

Es sei ${}a\in R$ eine Einheit. Dann gibt es ein ${}b\in R$ mit ${}ab=1$ und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist

${}R^{\times }\subseteq R[X]^{\times }\,.$

Es sei nun

${}P=\sum _{i=0}^{d}a_{i}X^{i}\,$

($a_{d}\neq 0$) eine Einheit in ${}R[X]$. Dann gibt es ein Polynom

${}Q=\sum _{j=0}^{e}b_{j}X^{j}\,$

($b_{e}\neq 0$) mit

${}PQ=1\,.$

Da ${}R$ ein Integritätsbereich ist, ist ${}a_{d}b_{e}\neq 0$ und das Produkt hat die Gestalt

$a_{d}b_{e}X^{d+e}+{\text{Terme von kleinerem Grad}}.$

Daher ist

${}d+e=0\,$

und

${}a_{d}b_{e}=1\,,$

das Polynom ist also eine konstante Einheit.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu ${}\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${}n$ gilt: ${}P(n)\in \mathbb {Z}$.

Lösung

Betrachte das Polynom

${}P={\frac {X(X-1)}{2}}={\frac {X^{2}}{2}}-{\frac {X}{2}}\,.$

Die Koeffizienten liegen in ${}\mathbb {Q}$, aber nicht in ${}\mathbb {Z}$. Wenn man in dieses Polynom eine ganze Zahl ${}n$ einsetzt, so ist genau eine der Zahlen ${}n$ und ${}n-1$ gerade. Also ist ${}P(n)={\frac {n(n-1)}{2}}$ ganzzahlig.

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Lösung

a) Es ist

${}3^{2}+4^{2}=5^{2}\,,$

daher ist

${}{\left({\frac {3}{6}}\right)}^{2}+{\left({\frac {4}{6}}\right)}^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\,,$

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen ${}a={\frac {3}{6}}$ und ${}b={\frac {4}{6}}$ und ${}c={\frac {1}{6}}$. Die Summe ist

${}a^{2}+b^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\neq {\left({\frac {1}{6}}\right)}^{2}\,.$

c) Wir setzen

${}a=b={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,;$

diese Zahl ist irrational, da ${}{\sqrt {2}}$ irrational ist. Es gilt

${}{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}={\frac {1}{4\cdot 2}}+{\frac {1}{4\cdot 2}}={\frac {1}{4}}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,.$

Mit ${}c={\frac {1}{2}}$ ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,.$

2. Zeige, dass

   $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,$

   ist.

Lösung

1. ${}(5,3)$ ist eine ganzzahlige Lösung.
2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\left({\frac {383}{1000}}\right)}^{2}-{\left({\frac {129}{100}}\right)}^{3}+2&={\left({\frac {146689}{1000000}}\right)}-{\left({\frac {2146689}{1000000}}\right)}+2\\&={\left({\frac {146689-2146689}{1000000}}\right)}+2\\&={\left({\frac {-2000000}{1000000}}\right)}+2\\&=-2+2\\&=0.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe den Körper mit neun Elementen ${}\mathbb {F} _{9}$ als einen Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${}\mathbb {F} _{9}$ an.

Lösung

In ${}\mathbb {Z} /(3)$ ist ${}2$ kein Quadrat, wie man direkt nachrechnet. Daher ist ${}X^{2}-2=X^{2}+1\in \mathbb {Z} /(3)[X]$ ein irreduzibles Polynom und daher ist der Restklassenring

$\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{2}+1)$

ein Körper. Jedes Element wird dabei eindeutig geschrieben in der Form ${}ax+b$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$) mit ${}a,b\in \mathbb {Z} /(3)$, sodass es sich um einen Körper mit ${}9$ Elementen handelt.

Die Einheitengruppe von diesem Körper besitzt ${}8$ Elemente. Alle Elemente haben also eine Zweierpotenz als Ordnung, und wir brauchen ein Element der Ordnung ${}8$. Wir betrachten das Element ${}x+1$. Es ist

${}(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1=2x+3=2x\neq 1\,$

und

${}(2x)^{2}=4x^{2}=x^{2}=2\neq 1\,.$

Daher ist die Ordnung von ${}x+1$ weder ${}1$ noch ${}2$ noch ${}4$, also muss sie gleich ${}8$ sein und es liegt ein primitives Element vor.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung