Elementare und algebraische Zahlentheorie/14/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 2 4 2 3 4 3 0 4 0 0 0 0 0 28




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Produktring zu kommutativen Ringen .
  2. Ein über einem Körper algebraisches Element einer -Algebra .
  3. Ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring .
  4. Ein diskreter Bewertungsring.
  5. Der Divisor zu einem gebrochenen Ideal von einem Zahlbereich.
  6. Eine binäre quadratische Form.


Lösung

  1. Das Produkt

    versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, heißt der Produktring der gegebenen Ringe.

  2. Das Element heißt algebraisch über , wenn es ein von verschiedenes Polynom mit gibt.
  3. Das Ideal heißt maximal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.
  4. Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.
  5. Man nennt den Divisor

    mit

    den Divisor zum gebrochenen Ideal .

  6. Unter einer binären quadratischen Form versteht man einen Ausdruck der Gestalt

    mit .


Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also
    divergiert.
  2. Sei ein Dedekindbereich und sei ein maximales Ideal in . Dann ist die Lokalisierung

    ein

    diskreter Bewertungsring.
  3. Sei ein quadratischer Zahlbereich. Dann ist die Divisorenklassengruppe von eine endliche Gruppe.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe zwei Primfaktoren von an.


Lösung

Es ist stets ein Teiler von , da ein Teiler von ist. Deshalb sind und Teiler von . Das sind beide Primzahlen.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

  1. Gibt es eine Primzahl derart, dass auch und Primzahlen sind?
  2. Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch und Primzahlen sind?


Lösung

  1. Die Zahlen sind Primzahlen.
  2. Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Tripel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von bei Division durch . Wenn der Rest von ist, so sind die beiden anderen Reste gleich bzw. . Somit muss eine der drei Zahlen den Rest besitzen, also ein Vielfaches von sein. Da ausgeschlossen ist, können nicht alle drei Zahlen Primzahlen sein.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.


Lösung

Sei eine Einheit. Dann gibt es ein mit und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist

Sei nun

() eine Einheit in . Dann gibt es ein Polynom

() mit

Da ein Integritätsbereich ist, ist und das Produkt hat die Gestalt

Daher ist

und

das Polynom ist also eine konstante Einheit.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom an, das nicht zu gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl gilt: .


Lösung

Betrachte das Polynom

Die Koeffizienten liegen in , aber nicht in . Wenn man in dieses Polynom eine ganze Zahl einsetzt, so ist genau eine der Zahlen und gerade. Also ist ganzzahlig.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Lösung

a) Es ist

daher ist

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen und und . Die Summe ist

c) Wir setzen

diese Zahl ist irrational, da irrational ist. Es gilt

Mit ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

  1. Finde eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung
  2. Zeige, dass

    eine Lösung für die Gleichung

    ist.


Lösung

  1. ist eine ganzzahlige Lösung.
  2. Es ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe den Körper mit neun Elementen als einen Restklassenkörper von . Man gebe eine primitive Einheit in an.


Lösung

In ist kein Quadrat, wie man direkt nachrechnet. Daher ist ein irreduzibles Polynom und daher ist der Restklassenring

ein Körper. Jedes Element wird dabei eindeutig geschrieben in der Form ( bezeichnet die Restklasse von ) mit , so dass es sich um einen Körper mit Elementen handelt.

Die Einheitengruppe von diesem Körper besitzt Elemente. Alle Elemente haben also eine Zweierpotenz als Ordnung, und wir brauchen ein Element der Ordnung . Wir betrachten das Element . Es ist

und

Daher ist die Ordnung von weder noch noch , also muss sie gleich sein und es liegt ein primitives Element vor.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung