Elementare und algebraische Zahlentheorie/3/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 7 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 10 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {euklidischer Bereich} {} $R$.
}{Eine \stichwort {vollkommene Zahl} {.}
}{Das \stichwort {Minimalpolynom} {} eines Elementes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer endlichen Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {quadratischer Zahlbereich} {.}
}{Die \stichwort {Norm} {} zu einem Ideal ${\mathfrak a} \neq 0$ in einem quadratischen Zahlbereich $R$.
}{Die \stichwort {Diskriminante} {} einer binären quadratischen Form. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Einheiten modulo $n$.}{Das \stichwort {Bertrandsche Postulat} {.}}{Der Satz über die Norm eines Hauptideals in einem quadratischen Zahlbereich $R$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass ein euklidischer Bereich ein Hauptidealbereich ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung von $10!$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1.5+1.5)}
{
a) Bestimme für die Zahlen $3$, $11$ und $13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(11) \times \Z/(13)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 5 \!\! \mod 11 \text{ und } x = 6 \!\! \mod 13} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in folgenden Körpern:
a) $\Z/(73)$,
b) ${\mathbb F}_{125}$,
c) ${\mathbb F}_{64}$,
d) $\Z/(113)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $a$ und der andere ein Fassungsvermögen von $b$ Litern, wobei \mathkor {} {a} {und} {b} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
Zu einer positiven natürlichen Zahl $n$ sei $a_n$ das
\definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{}
der Zahlen
\mathl{1,2,3 , \ldots , n}{.}
\aufzaehlungzwei {Was ist die kleinste Zahl $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n
}
{ =} {a_{n+1}
}
{ =} {a_{n+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
} {Zeige, dass die Reihe
\mathdisp {\sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ a_n } }} { }
konvergiert.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:
\mathdisp {\left(\frac{1003}{4459}\right)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10 (2+2+6)}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $F$ ein normiertes Polynom aus $\Z[X]$ und es gebe eine Primzahl $q$ mit der Eigenschaft, dass $F$ modulo $q$, also aufgefasst in $\Z/(q) [X]$,
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
sei. Zeige, dass dann schon $F$ irreduzibel ist.
}{Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss.
}{Es sei $p$ eine Primzahl und $G \in \Z/(p) [X]$ ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom
\mathl{F\in \Z[X]}{} gibt, das modulo $p$ mit $G$ übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass jedes Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und seien
\mathl{f,g \in \Z}{}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Zahlen. Zeige, dass für den
\zusatzklammer {im Quotientenkörper $Q(R)$ genommenen} {} {}
Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_f \cap R_g
}
{ =} {R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak f} \subseteq \Q$, das durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10}\,} { }
erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige, dass es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft gibt, dass für alle
\definitionsverweis {maximale Ideale}{}{}
${\mathfrak m}$ gilt:
\mathdisp {f \in {\mathfrak m} \text{ genau dann, wenn } {\mathfrak a} \subseteq {\mathfrak m}} { . }
}
{} {}