Elementare und algebraische Zahlentheorie/3/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 7 }

\renewcommand{\aacht}{ 5 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 5 }

\renewcommand{\aelf}{ 10 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {euklidischer Bereich} {} $R$.

}{Eine \stichwort {vollkommene Zahl} {.}

}{Das \stichwort {Minimalpolynom} {} eines Elementes
\mathl{x \in L}{} in einer endlichen Kör\-pererweiterung
\mathl{K \subseteq L}{.}

}{Ein \stichwort {quadratischer Zahlbereich} {.}

}{Die \stichwort {Norm} {} zu einem Ideal ${\mathfrak a} \neq 0$ in einem quadratischen Zahlbereich $R$.

}{Die \stichwort {Diskriminante} {} einer binären quadratischen Form. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Einheiten modulo $n$.}{Das \stichwort {Bertrandsche Postulat} {.}}{Der Satz über die Norm eines Hauptideals in einem quadratischen Zahlbereich $R$.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige, dass ein euklidischer Bereich ein Hauptidealbereich ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $10!$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1.5+1.5)}
{

(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $11$ und $13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(11) \times \Z/(13)} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 5 \!\! \mod 11 \text{ und } x = 6 \!\! \mod 13} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+1+1)}
{

Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in folgenden Körpern:

a) $\Z/(73)$,

b) ${\mathbb F}_{125}$,

c) ${\mathbb F}_{64}$,

d) $\Z/(113)$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $a$ und der andere ein Fassungsvermögen von $b$ Litern, wobei \mathkor {} {a} {und} {b} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{

Zu einer positiven natürlichen Zahl $n$ sei $a_n$ das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} der Zahlen
\mathl{1,2,3 , \ldots , n}{.} \aufzaehlungzwei {Was ist die kleinste Zahl $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n }
{ =} {a_{n+1} }
{ =} {a_{n+2} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?} } {Zeige, dass die Reihe
\mathdisp {\sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ a_n } }} { }
konvergiert. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:
\mathdisp {\left(\frac{1003}{4459}\right)} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $2$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{10 (2+2+6)}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $F$ ein normiertes Polynom aus $\Z[X]$ und es gebe eine Primzahl $q$ mit der Eigenschaft, dass $F$ modulo $q$, also aufgefasst in $\Z/(q) [X]$, \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} sei. Zeige, dass dann schon $F$ irreduzibel ist. }{Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss. }{Es sei $p$ eine Primzahl und $G \in \Z/(p) [X]$ ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom
\mathl{F\in \Z[X]}{} gibt, das modulo $p$ mit $G$ übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige, dass jedes Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} enthält.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und seien
\mathl{f,g \in \Z}{} \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} Zahlen. Zeige, dass für den \zusatzklammer {im Quotientenkörper $Q(R)$ genommenen} {} {} Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_f \cap R_g }
{ =} {R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak f} \subseteq \Q$, das durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10}\,} { }
erzeugt wird.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und
\mathl{{\mathfrak a} \neq 0}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. Zeige, dass es ein Element
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{} mit der Eigenschaft gibt, dass für alle \definitionsverweis {maximale Ideale}{}{} ${\mathfrak m}$ gilt:
\mathdisp {f \in {\mathfrak m} \text{ genau dann, wenn } {\mathfrak a} \subseteq {\mathfrak m}} { . }

}
{} {}