Elementare und algebraische Zahlentheorie/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	3	4	7	5	4	5	10	4	4	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein euklidischer Bereich ${}R$.
2. Eine vollkommene Zahl.
3. Das Minimalpolynom eines Elementes ${}x\in L$ in einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
4. Ein quadratischer Zahlbereich.
5. Die Norm zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem quadratischen Zahlbereich ${}R$.
6. Die Diskriminante einer binären quadratischen Form.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für Einheiten modulo ${}n$.
2. Das Bertrandsche Postulat.
3. Der Satz über die Norm eines Hauptideals in einem quadratischen Zahlbereich ${}R$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass ein euklidischer Bereich ein Hauptidealbereich ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}10!$.

Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen ${}3$, ${}11$ und ${}13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(11)\times \mathbb {Z} /(13)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=5\!\!\mod 11{\text{ und }}x=6\!\!\mod 13.$

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in folgenden Körpern:

a) ${}\mathbb {Z} /(73)$,

b) ${}{\mathbb {F} }_{125}$,

c) ${}{\mathbb {F} }_{64}$,

d) ${}\mathbb {Z} /(113)$.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}a$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}b$ Litern, wobei ${}a$ und ${}b$ teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Zu einer positiven natürlichen Zahl ${}n$ sei ${}a_{n}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ${}1,2,3,\ldots ,n$.

1. Was ist die kleinste Zahl ${}n$ mit

   ${}a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}\,?$

2. Zeige, dass die Reihe

   $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}}}$

   konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:

$\left({\frac {1003}{4459}}\right).$

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich ${}2$ ist.

Aufgabe * (10 (2+2+6) Punkte)

1. Es sei ${}F$ ein normiertes Polynom aus ${}\mathbb {Z} [X]$ und es gebe eine Primzahl ${}q$ mit der Eigenschaft, dass ${}F$ modulo ${}q$, also aufgefasst in ${}\mathbb {Z} /(q)[X]$, irreduzibel sei. Zeige, dass dann schon ${}F$ irreduzibel ist.
2. Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss.
3. Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}G\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ gibt, das modulo ${}p$ mit ${}G$ übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass jedes Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$ eine ganze Zahl ${}m\neq 0$ enthält.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und seien ${}f,g\in \mathbb {Z}$ teilerfremde Zahlen. Zeige, dass für den (im Quotientenkörper ${}Q(R)$ genommenen) Durchschnitt

${}R_{f}\cap R_{g}=R\,$

gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q}$, das durch die rationalen Zahlen

${\frac {3}{7}},\,{\frac {5}{6}},\,{\frac {3}{10}}\,$

erzeugt wird.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass es ein Element ${}f\in {\mathfrak {a}}$ mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximale Ideale ${}{\mathfrak {m}}$ gilt:

$f\in {\mathfrak {m}}{\text{ genau dann, wenn }}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}.$