Elementare und algebraische Zahlentheorie/3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 2 3 4 7 5 4 5 10 4 4 2 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein euklidischer Bereich .
  2. Eine vollkommene Zahl.
  3. Das Minimalpolynom eines Elementes in einer endlichen Körpererweiterung .
  4. Ein quadratischer Zahlbereich.
  5. Die Norm zu einem Ideal in einem quadratischen Zahlbereich .
  6. Die Diskriminante einer binären quadratischen Form.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für Einheiten modulo .
  2. Das Bertrandsche Postulat.
  3. Der Satz über die Norm eines Hauptideals in einem quadratischen Zahlbereich .


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass ein euklidischer Bereich ein Hauptidealbereich ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in folgenden Körpern:

a) ,

b) ,

c) ,

d) .


Aufgabe * (7 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern, wobei und teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Zu einer positiven natürlichen Zahl sei das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen .

  1. Was ist die kleinste Zahl mit
  2. Zeige, dass die Reihe

    konvergiert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich ist.


Aufgabe * (10 (2+2+6) Punkte)

  1. Es sei ein normiertes Polynom aus und es gebe eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass modulo , also aufgefasst in , irreduzibel sei. Zeige, dass dann schon irreduzibel ist.
  2. Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss.
  3. Es sei eine Primzahl und ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom gibt, das modulo mit übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass jedes Ideal in einem Zahlbereich eine ganze Zahl enthält.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Zahlbereich und seien teilerfremde Zahlen. Zeige, dass für den (im Quotientenkörper genommenen) Durchschnitt

gilt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal , das durch die rationalen Zahlen

erzeugt wird.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein quadratischer Zahlbereich und ein Ideal in . Zeige, dass es ein Element mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximale Ideale gilt: