Elementare und algebraische Zahlentheorie/5/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 6 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Integritätsbereich} {.}
}{Eine \stichwort {Sophie-Germain-Primzahl} {.}
}{Der \stichwort {Quotientenkörper} {} zu einem kommutativen Ring $R$.
}{Ein \stichwortpraemath {R} {Modul}{} $M$ über einem kommutativen Ring $R$.
}{Ein \zusatzklammer {ganzer} {} {} \stichwort {Zahlbereich} {.}
}{Das \stichwort {Ideal zu einem effektiven Divisor} {} $D$ in einem Zahlbereich $R$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Chinesische Restsatz} {} für $\Z$.}{Der Satz über die Charakterisierung von Carmi\-chael-Zahlen.}{Der Satz über die Potenzen von Idealen in einem quadratischen Zahlbereich.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell,m
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei $x$ die Zahl mit $\ell$ Neunen und $y$ die Zahl mit $m$ Neunen
\zusatzklammer {im Zehnersystem} {} {.}
Zeige, dass $y$ genau dann von $x$ geteilt wird, wenn $m$ von $\ell$ geteilt wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Finde unter den Zahlen $\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z [ { \mathrm i} ]$ die Primfaktorzerlegung von $8- { \mathrm i}$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+1+1)}
{
a) Bestimme die primitiven Elemente von
\mathl{\Z/(11)}{.}
b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe
\mathl{(\Z/(10),+)}{} in die Einheitengruppe
\mathl{{ \left( \Z/(11) \right) }^{\times}}{} an.
c) Bestimme für jede Einheit aus
\mathl{\Z/(11)}{} die Ordnung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left(\frac{53}{311}\right)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass $7$ ein Quadratrest modulo $p$ ist.
Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{p \in \Z}{} eine Primzahl und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$\Z/(p^n)$ nur die beiden trivialen
\definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{}
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige: Für eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ ist die Mersennesche Zahl $M_p$ \definitionsverweis {quasiprim}{}{} zur Basis $2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $p$ eine Primzahl,
\mathl{q=p^{e}}{} mit
\mathl{e \geq 1}{} und sei ${\mathbb F}_q$ der Körper mit $q$ Elementen und
\mathl{R={\mathbb F}_q[X]}{} der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring $R/{\mathfrak a}$ zu einem Ideal
\mathl{{\mathfrak a} \neq 0}{} endlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {Zahlbereichen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {,} die als Ringe nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen \mathkor {} {(R,+,0)} {und} {(S,+,0)} {} als Gruppen \definitionsverweis {isomorph}{}{} als auch die multiplikativen Strukturen \mathkor {} {(R, \cdot,1)} {und} {(S, \cdot,1)} {} als Monoide isomorph sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[ { \mathrm i} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ = }{\Q[{ \mathrm i}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das durch die beiden Erzeuger
\mathdisp {\frac{5}{7} \text{ und } \frac{-8+6 { \mathrm i} }{5}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit der Eigenschaft gibt, dass die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_f$ faktoriell ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Ergänze die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7892 & 1551 \\ & \end{pmatrix}} { }
zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante $1$.
}
{} {}