Elementare und algebraische Zahlentheorie/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	6	4	3	4	4	4	4	4	4	3	6	4	5	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Integritätsbereich.
2. Eine Sophie-Germain-Primzahl.
3. Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Ein ${}R$-Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Ein (ganzer) Zahlbereich.
6. Das Ideal zu einem effektiven Divisor ${}D$ in einem Zahlbereich ${}R$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Chinesische Restsatz für ${}\mathbb {Z}$.
2. Der Satz über die Charakterisierung von Carmichael-Zahlen.
3. Der Satz über die Potenzen von Idealen in einem quadratischen Zahlbereich.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es seien ${}\ell ,m\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei ${}x$ die Zahl mit ${}\ell$ Neunen und ${}y$ die Zahl mit ${}m$ Neunen (im Zehnersystem). Zeige, dass ${}y$ genau dann von ${}x$ geteilt wird, wenn ${}m$ von ${}\ell$ geteilt wird.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde unter den Zahlen ${}\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von ${}8-{\mathrm {i} }$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.

Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

a) Bestimme die primitiven Elemente von ${}\mathbb {Z} /(11)$.

b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe ${}(\mathbb {Z} /(10),+)$ in die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(11)\right)}^{\times }$ an.

c) Bestimme für jede Einheit aus ${}\mathbb {Z} /(11)$ die Ordnung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {53}{311}}\right).$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen ${}p$ mit der Eigenschaft, dass ${}7$ ein Quadratrest modulo ${}p$ ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente ${}0$ und ${}1$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige: Für eine Primzahl ${}p$ ist die Mersennesche Zahl ${}M_{p}$ quasiprim zur Basis ${}2$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl, ${}q=p^{e}$ mit ${}e\geq 1$ und sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ der Körper mit ${}q$ Elementen und ${}R={\mathbb {F} }_{q}[X]$ der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ endlich ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei Zahlbereichen ${}R$ und ${}S$, die als Ringe nicht isomorph sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen ${}(R,+,0)$ und ${}(S,+,0)$ als Gruppen isomorph als auch die multiplikativen Strukturen ${}(R,\cdot ,1)$ und ${}(S,\cdot ,1)$ als Monoide isomorph sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus ${}Q(R)=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$, das durch die beiden Erzeuger

${\frac {5}{7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {-8+6{\mathrm {i} }}{5}}$

gegeben ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es ein ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme ${}R_{f}$ faktoriell ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Ergänze die Matrix

${\begin{pmatrix}7892&1551\\&\end{pmatrix}}$

zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante ${}1$.