Elementare und algebraische Zahlentheorie/5/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 6 4 3 4 4 4 4 4 4 3 6 4 5 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Integritätsbereich.
  2. Eine Sophie-Germain-Primzahl.
  3. Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring .
  4. Ein -Modul über einem kommutativen Ring .
  5. Ein ganzer Zahlbereich.
  6. Das Ideal zu einem effektiven Divisor in einem Zahlbereich .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Chinesische Restsatz für .
  2. Der Satz über die Charakterisierung von Carmichael-Zahlen.
  3. Der Satz über die Potenzen von Idealen in einem quadratischen Zahlbereich.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es seien und es sei die Zahl mit Neunen und die Zahl mit Neunen (im Zehnersystem). Zeige, dass genau dann von geteilt wird, wenn von geteilt wird.


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde unter den Zahlen diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in die Primfaktorzerlegung von . Begründe, warum die Faktoren prim sind.


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

a) Bestimme die primitiven Elemente von .

b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe in die Einheitengruppe an.

c) Bestimme für jede Einheit aus die Ordnung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol



Aufgabe * (4 Punkte)

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen mit der Eigenschaft, dass ein Quadratrest modulo ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige: Für eine Primzahl ist die Mersennesche Zahl quasiprim zur Basis .


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei eine Primzahl, mit und sei der Körper mit Elementen und der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring zu einem Ideal endlich ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei Zahlbereichen und , die als Ringe nicht isomorph sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen und als Gruppen isomorph als auch die multiplikativen Strukturen und als Monoide isomorph sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei . Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus , das durch die beiden Erzeuger

gegeben ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es ein , , mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme faktoriell ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Ergänze die Matrix

zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante .