Elementare und algebraische Zahlentheorie/6/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 0 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 0 }
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\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
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\renewcommand{\asiebzehn}{ 36 }
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\renewcommand{\azwanzig}{ }
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\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Ring} {} $R$.
}{Das \stichwort {Jacobi-Symbol} {.}
}{Die \stichwort {Riemannsche Zetafunktion} {.}
}{Die
\stichwort {Norm} {}
zu einem Element
\mathl{f \in L}{} bei einer
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mathl{K \subseteq L}{.}
}{Eine \stichwort {quadratfreie} {} Zahl.
}{Die \stichwort {Klassenzahl} {} zu einem \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{} $R$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Lemma von Euklid} {} für einen Hauptidealbereich.}{Der Satz über die explizite Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche.}{Der Satz über die Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne
\mathl{3^{1457}}{} in
\mathl{{\mathbb Z}/(13)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z[{ \mathrm i}]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{5+2{ \mathrm i}}{} und
\mathl{3+7{ \mathrm i}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne in
\mathdisp {\Z/(7)[X]/(X^3+4X^2+X+5)} { }
das Produkt
\mathdisp {(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6)} { }
\zusatzklammer {$x$ bezeichne die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl
\mathl{n^2-1}{} eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit $6$ Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}