Elementare und algebraische Zahlentheorie/9/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 0 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 8 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 46 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Das von einer Familie von Elementen
\mathbed {a_j \in R} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$
\stichwort {erzeugte Ideal} {.}
}{Ein \stichwort {quadratischer Rest} {.}
}{Eine \stichwort {endliche} {} Körpererweiterung
\mathl{K \subseteq L}{.}
}{Ein \stichwort {normaler} {} Integritätsbereich.
}{\stichwort {Reell-quadratische} {} und \stichwort {imaginär-quadratische} {} Zahlbereiche.
}{Die
\stichwort {Grundmasche} {}
zu einem Gitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von
\mathl{\Z/(p)}{} für eine Primzahl $p$.}{Der
\stichwort {Satz von Euklid} {}
über Primzahlen.}{Der Satz über das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlbereich.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
von $\Z $ genau die Teilmengen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z d
}
{ =} { { \left\{ kd \mid k \in \Z \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+3+1)}
{
\aufzaehlungdrei{Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+6}{,}
\mathl{x+12}{,}
\mathl{x+18}{} und
\mathl{x+24}{} Primzahlen sind?
}{Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+6}{,}
\mathl{x+12}{,}
\mathl{x+18}{} und
\mathl{x+24}{} Primzahlen sind?
}{Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+6}{,}
\mathl{x+12}{} und
\mathl{x+18}{} Primzahlen sind?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
a) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 7^4} {und} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^{11} \cdot 7} {.}
b) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 6 \cdot 7} {und} {2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{4}} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $1728$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl
\mathl{n \geq 100 000}{} an, die keinen Primteiler
\mathl{\leq 20}{} besitzt.
b) Es sei
\mathl{K= \Z/(3)}{.} Man gebe explizit ein normiertes Polynom
\mathl{F \in K[X]}{} vom Grad $\geq 9$ an, das keinen Primteiler vom Grad $\leq 2$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left( \frac{ 1117 }{ 1861 }\right)} { }
und bestimme, ob $1117$ ein Quadratrest modulo
\mathl{1861}{} ist oder nicht
\zusatzklammer {$1861$ ist eine Primzahl} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme, ob die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\Z^3} { \Q } {(m,n,k)} { 2^m \cdot 3^n \cdot 5^k } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} und ob sie \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beschreibe den Körper mit acht Elementen $\mathbb F_8$ als einen Restklassenkörper von
\mathl{\Z/(2)[X]}{.} Man gebe eine primitive Einheit in $\mathbb F_8$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Fakultät
\mathl{n!}{} keine Quadratzahl ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es sei
\mathl{\Q \subseteq L}{} eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom Grad $n$ und sei $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Es seien
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in {\mathfrak a}}{} Elemente, die eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante
\mathdisp {\triangle(b_1 , \ldots , b_n)} { }
unter all diesen Basen aus ${\mathfrak a}$ minimal sei.
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { \Z b_1 + \cdots + \Z b_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}