Elementare und algebraische Zahlentheorie/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	5	5	2	1	0	4	4	4	0	3	4	8	0	0	46

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das von einer Familie von Elementen ${}a_{j}\in R$, ${}j\in J$, in einem kommutativen Ring ${}R$ erzeugte Ideal.
2. Ein quadratischer Rest.
3. Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
4. Ein normaler Integritätsbereich.
5. Reell-quadratische und imaginär-quadratische Zahlbereiche.
6. Die Grundmasche zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(p)$ für eine Primzahl ${}p$.
2. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
3. Der Satz über das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlbereich.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ genau die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${}d$ sind.

Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

1. Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$, ${}x+18$ und ${}x+24$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$, ${}x+18$ und ${}x+24$ Primzahlen sind?
3. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$ und ${}x+18$ Primzahlen sind?

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen ${}2\cdot 3^{2}\cdot 7^{4}$ und ${}2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{11}\cdot 7$.

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen ${}2\cdot 3^{2}\cdot 6\cdot 7$ und ${}2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 5^{4}$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1728$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl ${}n\geq 100000$ an, die keinen Primteiler ${}\leq 20$ besitzt.

b) Es sei ${}K=\mathbb {Z} /(3)$. Man gebe explizit ein normiertes Polynom ${}F\in K[X]$ vom Grad ${}\geq 9$ an, das keinen Primteiler vom Grad ${}\leq 2$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {1117}{1861}}\right)$

und bestimme, ob ${}1117$ ein Quadratrest modulo ${}1861$ ist oder nicht (${}1861$ ist eine Primzahl).

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die Abbildung

$\mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,(m,n,k)\longmapsto 2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k},$

injektiv und ob sie surjektiv ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe den Körper mit acht Elementen ${}\mathbb {F} _{8}$ als einen Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${}\mathbb {F} _{8}$ an.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für ${}n\geq 2$ die Fakultät ${}n!$ keine Quadratzahl ist.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Es seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ Elemente, die eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante

$\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})$

unter all diesen Basen aus ${}{\mathfrak {a}}$ minimal sei.

Zeige, dass dann

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$

ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)