Elementare und algebraische Zahlentheorie/9/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 5 5 2 1 0 4 4 4 0 3 4 8 0 0 46



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das von einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring erzeugte Ideal.
  2. Ein quadratischer Rest.
  3. Eine endliche Körpererweiterung .
  4. Ein normaler Integritätsbereich.
  5. Reell-quadratische und imaginär-quadratische Zahlbereiche.
  6. Die Grundmasche zu einem Gitter .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von für eine Primzahl .
  2. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
  3. Der Satz über das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlbereich.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von genau die Teilmengen der Form

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl sind.


Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

  1. Gibt es eine Primzahl derart, dass auch , , und Primzahlen sind?
  2. Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch , , und Primzahlen sind?
  3. Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch , und Primzahlen sind?


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl an, die keinen Primteiler besitzt.

b) Sei . Man gebe explizit ein normiertes Polynom vom Grad an, das keinen Primteiler vom Grad besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol


und bestimme, ob ein Quadratrest modulo ist oder nicht ( ist eine Primzahl).


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die Abbildung

injektiv und ob sie surjektiv ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe den Körper mit acht Elementen als einen Restklassenkörper von . Man gebe eine primitive Einheit in an.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für die Fakultät keine Quadratzahl ist.


Aufgabe * (8 Punkte)

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei der zugehörige Zahlbereich. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Seien Elemente, die eine -Basis von bilden und für die der Betrag der Diskriminante

unter all diesen Basen aus minimal sei.

Zeige, dass dann

ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)