Elimination/Zwei quadratische Gleichungen/Direkt/Fakt

Sei ${}R$ ein Integritätsbereich und seien ${}F_{1}=a_{1}X^{2}+b_{1}X+c_{1}$ und ${}F_{2}=a_{2}X^{2}+b_{2}X+c_{2}$ zwei quadratische Polynome in einer Variablen über ${}R$ mit ${}a_{1}\neq 0$ und ${}(a_{1},b_{1})$ und ${}(a_{2},b_{2})$ linear unabhängig. Dann gehört zum Ideal ${}(F_{1},F_{2})\cap R$ das Element

$(a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})^{2}-b_{1}(-a_{2}c_{1}b_{2}-c_{2}a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}c_{2})+c_{1}(a_{1}b_{2}^{2}-2a_{2}b_{1}b_{2}).$

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen