Elimination/Zwei quadratische Gleichungen/Direkt/Fakt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und seien $F_{1} = a_{1} X^{2} + b_{1} X + c_{1}$ und $F_{2} = a_{2} X^{2} + b_{2} X + c_{2}$ zwei quadratische Polynome in einer Variablen über $R$ mit $a_{1} \neq 0$ und $(a_{1}, b_{1})$ und $(a_{2}, b_{2})$ linear unabhängig. Dann gehört zum Ideal $(F_{1}, F_{2}) \cap R$ das Element

(a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2})^{2} - b_{1} (- a_{2} c_{1} b_{2} - c_{2} a_{2} b_{1} + a_{1} b_{2} c_{2}) + c_{1} (a_{1} b_{2}^{2} - 2 a_{2} b_{1} b_{2}) .

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen