Elimination/Zwei quadratische Gleichungen/Direkt/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir haben zunächst

${}a_{2}F_{1}-a_{1}F_{2}=(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})X+a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}\,.$

Daraus ergibt sich der Ausdruck (dieses Argument ist nicht ganz richtig, es lässt sich aber auch rigoroser durchführen)

${}X=-{\frac {a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}}\,.$

Wir setzen das in ${}F_{1}$ ein und multiplizieren mit dem Quadrat des Nenners und erhalten

$a_{1}(a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})^{2}-b_{1}(a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})+c_{1}(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})^{2}.$

Hier kommt im zweiten Summand ${}-b_{1}a_{2}c_{1}a_{2}b_{1}$ und im dritten Summand ${}c_{1}a_{2}^{2}b_{1}^{2}$ vor; diese beiden Summanden heben sich weg, in allen übrigen Monomen kommt ${}a_{1}$ vor. Wir können also ${}a_{1}$ wegkürzen und übrig bleibt

$(a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})^{2}-b_{1}(-a_{2}c_{1}b_{2}-c_{2}a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}c_{2})+c_{1}(a_{1}b_{2}^{2}-2a_{2}b_{1}b_{2}).$

Zur bewiesenen Aussage