Elimination/Zwei quadratische Gleichungen/Direkt/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir haben zunächst

a_{2} F_{1} - a_{1} F_{2} = (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}) X + a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2} .

Daraus ergibt sich der Ausdruck (dieses Argument ist nicht ganz richtig, es lässt sich aber auch rigoroser durchführen)

X = - \frac{a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2}}{a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}} .

Wir setzen das in $F_{1}$ ein und multiplizieren mit dem Quadrat des Nenners und erhalten

a_{1} (a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2})^{2} - b_{1} (a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2}) (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}) + c_{1} (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2})^{2} .

Hier kommt im zweiten Summand $- b_{1} a_{2} c_{1} a_{2} b_{1}$ und im dritten Summand $c_{1} a_{2}^{2} b_{1}^{2}$ vor; diese beiden Summanden heben sich weg, in allen übrigen Monomen kommt $a_{1}$ vor. Wir können also $a_{1}$ wegkürzen und übrig bleibt

(a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2})^{2} - b_{1} (- a_{2} c_{1} b_{2} - c_{2} a_{2} b_{1} + a_{1} b_{2} c_{2}) + c_{1} (a_{1} b_{2}^{2} - 2 a_{2} b_{1} b_{2}) .

Zur bewiesenen Aussage