Ellipse/Brennpunkte zentriert/Quadratische Gleichung/Hauptachsen/Aufgabe/Lösung

Nach einer Koordinatentransformation können wir $Q_{1} = (e, 0)$ und $Q_{2} = (- e, 0)$ . Die Abstandsbedingung schreiben wir als

\sqrt{(x - e)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x + e)^{2} + y^{2}} = 2 a

und wir setzen $b := \sqrt{a^{2} - e^{2}}$ . (Dies führt gleich zu prägnanten Formeln. Die Rolle von $a$ ist die $x$ -Koordinate des Durchschnitts der Ellipse mit der $x$ -Achse und $b$ ist die $y$ -Koordinate des Durchschnitts der Ellipse mit der $y$ -Achse). Somit gilt

\sqrt{(x - e)^{2} + y^{2}} = 2 a - \sqrt{(x + e)^{2} + y^{2}}

und nach Quadrieren ergibt sich

(x - e)^{2} + y^{2} = 4 a^{2} + (x + e)^{2} + y^{2} - 4 a \sqrt{(x + e)^{2} + y^{2}} .

Dies bedeutet

4 e x + 4 a^{2} = 4 a \sqrt{(x + e)^{2} + y^{2}}

bzw.

e x + a^{2} = a \sqrt{(x + e)^{2} + y^{2}}

bzw.

e \frac{x}{a} + a = \sqrt{(x + e)^{2} + y^{2}} .

Quadrieren ergibt

e^{2} {(\frac{x}{a})}^{2} + a^{2} + 2 e x = (x + e)^{2} + y^{2},

was auf

e^{2} {(\frac{x}{a})}^{2} + a^{2} = x^{2} + e^{2} + y^{2}

führt. Somit ist

\begin{matrix} b^{2} & = a^{2} - e^{2} \\ = x^{2} (1 - {(\frac{e}{a})}^{2}) + y^{2} \\ = x^{2} \frac{a^{2} - e^{2}}{a^{2}} + y^{2} \\ = x^{2} \frac{b^{2}}{a^{2}} + y^{2} . \end{matrix}

Also ist

{(\frac{x}{a})}^{2} + {(\frac{y}{b})}^{2} = 1 .

Zur gelösten Aufgabe