Ellipse/Brennpunkte zentriert/Quadratische Gleichung/Hauptachsen/Aufgabe/Lösung

Nach einer Koordinatentransformation können wir ${}Q_{1}=(e,0)$ und ${}Q_{2}=(-e,0)$. Die Abstandsbedingung schreiben wir als

${}{\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}=2a\,$

und wir setzen ${}b:={\sqrt {a^{2}-e^{2}}}$. (Dies führt gleich zu prägnanten Formeln. Die Rolle von ${}a$ ist die ${}x$-Koordinate des Durchschnitts der Ellipse mit der ${}x$-Achse und ${}b$ ist die ${}y$-Koordinate des Durchschnitts der Ellipse mit der ${}y$-Achse). Somit gilt

${}{\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}=2a-{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}\,$

und nach Quadrieren ergibt sich

${}(x-e)^{2}+y^{2}=4a^{2}+(x+e)^{2}+y^{2}-4a{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}\,.$

Dies bedeutet

${}4ex+4a^{2}=4a{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}\,$

bzw.

${}ex+a^{2}=a{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}\,$

bzw.

${}e{\frac {x}{a}}+a={\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}\,.$

Quadrieren ergibt

${}e^{2}{\left({\frac {x}{a}}\right)}^{2}+a^{2}+2ex=(x+e)^{2}+y^{2}\,,$

was auf

${}e^{2}{\left({\frac {x}{a}}\right)}^{2}+a^{2}=x^{2}+e^{2}+y^{2}\,$

führt. Somit ist

${}{\begin{aligned}b^{2}&=a^{2}-e^{2}\\&=x^{2}{\left(1-{\left({\frac {e}{a}}\right)}^{2}\right)}+y^{2}\\&=x^{2}{\frac {a^{2}-e^{2}}{a^{2}}}+y^{2}\\&=x^{2}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+y^{2}.\end{aligned}}$

Also ist

${}{\left({\frac {x}{a}}\right)}^{2}+{\left({\frac {y}{b}}\right)}^{2}=1\,.$

Zur gelösten Aufgabe