Ellipse/Paralleltransport/Aufgabe/Lösung

1. Der Tangentialraum in einem Punkt ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ steht senkrecht auf dem Gradienten ${}{\begin{pmatrix}2x\\6y\end{pmatrix}}$, in ${}P$ also senkrecht auf

   ${}{\begin{pmatrix}2\\{\frac {6}{\sqrt {3}}}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}\,.$

   Dies erfüllt der Vektor ${}v$.

2. Der Paralleltransport längs eines Weges ${}\gamma$ auf ${}M$ von ${}P$ nach ${}Q$ ist eine Isometrie ${}T_{P}M\rightarrow T_{Q}M$. Der Tangentialraum an ${}Q$ steht senkrecht auf ${}{\begin{pmatrix}-1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}$ und wird erzeugt von ${}{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}}$. Da sich die Norm nicht ändert, kommt als Ergebnis nur ${}\pm {\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}}$ in Frage. Da ${}v$ gegen den Uhrzeigersinn auf ${}M$ zeigt, muss dies auch für das Ergebnis gelten (etwa wegen Aufgabe), also ist ${}-{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}}$ das Ergebnis.

Zur gelösten Aufgabe