Elliptische Kurve/Absolute Galoisgruppe/Darstellung auf Tate-Modul/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei ein Element der absoluten Galoisgruppe, also ein -Algebraautomorphismus. Dieser induziert einen Automorphismus

wobei einfach auf abgebildet wird. Dieser Automorphismus ist mit der Addition auf der elliptischen Kurve verträglich, da die Addition durch Polynome aus definiert ist, und somit induziert einen Gruppenautomorphismus auf . Dabei liegen kommutative Diagramme

vor und somit führt dies zu einem Automorphismus auf dem Tate-Modul. Die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus, da ja jeweils die Automorphismen hintereinandergeschaltet werden.