Elliptische Kurve/Absolute Galoisgruppe/Darstellung auf Tate-Modul/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $\sigma :\bar{K}\to \bar{K}$ ein Element der absoluten Galoisgruppe, also ein $K$-Algebraautomorphismus. Dieser induziert einen Automorphismus

$E(\bar{K})⟶E(\bar{K}),P⟼\sigma (P),$

wobei einfach  $P=(x,y,z)$  auf  $\sigma (P)=(\sigma (x),\sigma (y),\sigma (z))$  abgebildet wird. Dieser Automorphismus ist mit der Addition auf der elliptischen Kurve verträglich, da die Addition durch Polynome aus $K$ definiert ist, und somit induziert $\sigma$ einen Gruppenautomorphismus auf $E[{\ell }^n]$. Dabei liegen kommutative Diagramme

$\begin{array}{cccc}E[{\ell }^{n+1}]& \stackrel{\cdot \ell }{⟶}& E[{\ell }^n]& \\ \sigma \downarrow & & \downarrow \sigma & \\ E[{\ell }^{n+1}]& \stackrel{\ell }{⟶}& E[{\ell }^n]& \end{array}$

vor und somit führt dies zu einem Automorphismus auf dem Tate-Modul. Die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus, da ja jeweils die Automorphismen hintereinandergeschaltet werden.

Zur bewiesenen Aussage