Elliptische Kurve/Allgemeines kubisches Polynom/Zerlegungsform/Verdoppelung/Aufgabe

Es sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve in Zerlegungsform. Zeige, dass die Verdoppelung eines Punktes ${}(x,y)$ mit ${}y\neq 0$ durch

${}2(x,y)=\left(\alpha ^{2}-2x+\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3},\,\alpha ^{3}-3\alpha x+\alpha (\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})+y\right)\,$

mit ${}\alpha ={\frac {3x^{2}-2(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})x+\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3}}{2y}}$

gegeben ist.

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