Elliptische Kurve/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Gruppenhomomorphismus/Fakt

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und sei ${}E=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{2}$ durch ein homogenes Polynom der Form ${}Y^{2}Z-X^{3}-aXZ^{2}-bZ^{3}$ mit ${}a,b\in R$ gegeben, das über ${}Q(R)$ eine elliptische Kurve definiert.

Dann liegt für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}\subseteq R$, für das ${}F$ eine elliptische Kurve über ${}R/{\mathfrak {m}}$ definiert, ein Gruppenhomomorphismus

$E(Q(R))\longrightarrow E(R/{\mathfrak {m}})$

vor (wobei jeweils der Punkt ${}(0,1,0)$ als neutrales Element genommen wird).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen