Polynomring/Mehrere Variablen/Homogene Komponenten/Definition

Homogene Komponenten und homogene Polynome

Sei ${}S$ ein kommutativer Ring und ${}R=S[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}S$ in ${}n$ Variablen. Dann heißt zu einem Polynom ${}F\in R$ mit ${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }$ die Zerlegung

${}F=\sum _{i=0}^{d}F_{i}\,$

mit

${}F_{i}=\sum _{\nu ,\,|\nu |=i}a_{\nu }X^{\nu }\,$

die homogene Zerlegung von ${}F$. Die ${}F_{i}$ nennt man die homogenen Komponenten von ${}F$ zum Grad ${}i$. Das Polynom ${}F$ selbst heißt homogen, wenn in der homogenen Zerlegung von ${}F$ nur ein ${}F_{i}$ vorkommt.