Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Rangcharakterisierung/Fakt

Rangcharakterisierung kongruenter Zahlen

Es sei  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  und sei ${}E$ die durch  ${}y^{2}=x^{3}-n^{2}x$  gegebene elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$.

Dann ist ${}n$ genau dann eine kongruente Zahl, wenn der Rang von ${}E(\mathbb {Q} )$ zumindest ${}1$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen