Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Rangcharakterisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei eine kongruente Zahl. Nach Fakt gibt es einen Punkt auf , für den die zweite Koordinate definitiv nicht ist. Nach Fakt ist es daher kein Torsionspunkt der Ordnung und nach Fakt kann es sich dabei überhaupt nicht um einen Torsionspunkt der Kurve handeln. Es ist also ein torsionsfreier Punkt und damit ist der Rang zumindest .

Wenn keine Torsionsgruppe ist, so gibt es insbesondere einen Punkt mit . Nach Fakt bedeutet dies, dass eine kongruente Zahl ist.