Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Differentialform explizit/Beispiel

Wir betrachten die homogene Gleichung (kurze Weierstaßform)

${}Y^{2}Z=X^{3}+aXZ^{2}+bZ^{3}\,$

bzw.

${}Y^{2}Z-X^{3}-aXZ^{2}-bZ^{3}=0\,$

über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2,3$. Nach Beispiel bzw. Fakt ist

${}{\begin{aligned}\omega &={\frac {Y^{2}}{Y^{2}-aXZ-3bZ^{2}}}d{\frac {X}{Y}}\\&=-{\frac {X^{2}}{Y^{2}-aXZ-3bZ^{2}}}d{\frac {Y}{X}}\\&=-{\frac {Z}{2Y}}d{\frac {X}{Z}}\\&={\frac {X^{2}}{2YZ}}d{\frac {Z}{X}}\\&={\frac {Z^{2}}{3X^{2}+aZ^{2}}}d{\frac {Y}{Z}}\\&=-{\frac {Y^{2}}{3X^{2}+aZ^{2}}}d{\frac {Z}{Y}}\end{aligned}}$

eine globale Differentialform ohne Nullstelle. Auf ${}D_{+}(Z)$ mit ${}x=X/Z$ und ${}y=Y/Z$ ist die Form gleich

${}-{\frac {1}{2y}}dx={\frac {Z^{2}}{3X^{2}+aZ^{2}}}dy=\left({\frac {3X^{2}+aZ^{2}}{Z^{2}}}\right)^{-1}dy={\left(3x^{2}+a\right)}^{-1}dy={\frac {1}{3x^{2}+a}}dy\,,$

was man auch direkt aus der affinen Gleichung ${}y^{2}=x^{3}+ax+b$ ableiten kann.