Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/Rechnungen/Bemerkung

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Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form

vorliegt. Es sei der unendlich ferne Punkt. Wir möchten die in Bemerkung beschriebene Idee zur Gruppenaddition auf der elliptischen Kurve in Formeln fassen. Zunächst legen wir als neutrales Element fest. Somit ist und

für jeden Punkt der Kurve. Im folgenden können wir uns also auf affin gegebene Punkte beschränken, wobei allerdings in der Summe der Punkt wieder auftauchen wird. Wir definieren zuerst das Negative. Zu einem Punkt

ist

Dies ist natürlich wieder ein Punkt der Kurve, da ja dort allein quadratisch eingeht. Ferner liegen die drei Punkte und auf der durch

gegebenen Geraden. Wenn hierbei ist, so ist

und die eben angeführte Gerade ist tangential an diesen Punkt.

Zur Berechnung der Addition seien die beiden (verschiedenen) Punkte durch

und

gegeben. Die verbindende Gerade ist dann

(einfach die beiden Punkte einsetzen). Da die Punkte verschieden sind, sind sie in mindestens einer Koordinaten verschieden und somit liegt in der Tat eine Gerade vor. Wenn ist, so ist

und die verbindende Gerade wird wie oben zu

mit als drittem Schnittpunkt. In diesem Fall ist

Es sei nun . Wir schreiben die Geradengleichung als

mit

und

Ein Punkt auf der Geraden hat die Form . Die Bedingung, dass er auf der Kurve liegt, wird zu

bzw. zu

Von dieser Gleichung in der einen Variablen kennen wir aber schon die Lösungen und . Deshalb gilt

mit einer dritten, noch nicht bekannten Lösung . Der Koeffizient zu führt auf

und damit

Somit ist


Aus Beweis:



Die Rechnungen weiter oben führen auf

und damit

und

Bei ist eine Nullstelle von und die Tangente ist durch gegeben. Der dritte Schnittpunkt befindet sich im Projektiven und ist .


Mit dieser Steigung  ist stets

und

mit .