Wir betrachten eine
elliptische Kurve,
die in der Form
-
vorliegt. Es sei 
der unendlich ferne Punkt. Wir möchten die in
Bemerkung
beschriebene Idee zur Gruppenaddition auf der elliptischen Kurve in Formeln fassen. Zunächst legen wir als neutrales Element fest. Somit ist
und
-
für jeden Punkt der Kurve. Im folgenden können wir uns also auf affin gegebene Punkte beschränken, wobei allerdings in der Summe der Punkt wieder auftauchen wird. Wir definieren zuerst das Negative. Zu einem Punkt
-
ist
-
Dies ist natürlich wieder ein Punkt der Kurve, da ja dort 
allein quadratisch eingeht. Ferner liegen die drei Punkte 
und auf der durch
-
gegebenen Geraden. Wenn hierbei
ist, so ist
-
und die eben angeführte Gerade ist tangential an diesen Punkt.
Zur Berechnung der Addition seien die beiden
(verschiedenen)
Punkte durch
-
und
-
gegeben. Die verbindende Gerade ist dann
-
(einfach die beiden Punkte einsetzen).
Da die Punkte verschieden sind, sind sie in mindestens einer Koordinaten verschieden und somit liegt in der Tat eine Gerade vor. Wenn
ist, so ist
-
und die verbindende Gerade wird wie oben zu
-
mit als drittem Schnittpunkt. In diesem Fall ist
-
Es sei nun
.
Wir schreiben die Geradengleichung als
-
mit
-
und
Ein Punkt auf der Geraden hat die Form 
. Die Bedingung, dass er auf der Kurve liegt, wird zu
-
bzw. zu
-
Von dieser Gleichung in der einen Variablen 
kennen wir aber schon die Lösungen
und 
.
Deshalb gilt
-
mit einer dritten, noch nicht bekannten Lösung 
. Der Koeffizient zu 
führt auf
-
und damit
Somit ist
Aus Beweis:
Die Rechnungen weiter oben führen auf
-
und damit
und
-
Bei
ist eine Nullstelle von 
und die Tangente ist durch
gegeben. Der dritte Schnittpunkt befindet sich im Projektiven und ist .
Mit dieser Steigung 
ist stets
-
und
-
mit
.
