Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Verdoppelung/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ mit kurzer Weierstraßgleichung  $y^2=x^3+ax+b$. 

Dann ist die Verdoppelung eines Punktes $(x,y)$ mit  $y\ne 0$  durch die rationalen Ausdrücke

$\begin{array}{cc}2(x,y)& =({\alpha }^2-2x,-{\alpha }^3+3x\alpha -y)\\ & =(\frac{9x^4+6a{x}^2+a^2}{4(x^3+ax+b)}-2x,(-\frac{(3x^2+a{)}^3}{8(x^3+ax+b{)}^2}+\frac{3x(3x^2+a)}{2(x^3+ax+b)}-1)y)\\ & =(\frac{x^4-2a{x}^2-8bx+a^2}{4(x^3+ax+b)},\frac{x^6+5a{x}^4+20b{x}^3-5a^2{x}^2-4abx-a^3-8b^2}{8(x^3+ax+b{)}^2}y)\end{array}$

mit

$\alpha =\frac{3x^2+a}{2y}$

gegeben.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen