Elliptische Kurve/L-Reihe/Alle a p sind 0/Aufgabe/Lösung

Nach Aufgabe sind die Koeffizienten ${}a_{n}$ gleich ${}0$, sobald ein Primfaktor von ${}n$ mit einem ungeraden Exponenten auftritt. Daher muss man nur über ${}a_{n}$ zu Quadratzahlen ${}n$ summieren und erhält

${}L(s)=\sum _{k\in \mathbb {N} _{+}}a_{k^{2}}(k^{2})^{-s}=\sum _{k\in \mathbb {N} _{+}}a_{k^{2}}k^{-2s}\,.$

Für

${}k=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{m}^{\alpha _{m}}\,$

mit verschiedenen Primzahlen ${}p_{i}$ ist wegen der Multiplikativität und Aufgabe

${}{\begin{aligned}a_{k^{2}}&=a_{p_{1}^{2\alpha _{1}}\cdots p_{m}^{2\alpha _{m}}}\\&=a_{p_{1}^{2\alpha _{1}}}\cdots a_{p_{m}^{2\alpha _{m}}}\\&=(-p_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (-p_{m})^{\alpha _{m}}\\&=(-1)^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{m}}p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{m}^{\alpha _{m}}\\&=(-1)^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{m}}k.\end{aligned}}$

Hierbei ist das Vorzeichen genau dann positiv, wenn die Anzahl der Primfaktoren in ${}k$ (mit Exponenten gezählt) gerade ist, was man durch ${}\lambda (k)$ ausdrücken kann. Damit ist insgesamt

${}L(s)=\sum _{k\in \mathbb {N} _{+}}a_{k^{2}}k^{-2s}=\sum _{k\in \mathbb {N} _{+}}\lambda (k)k\cdot k^{-2s}=\sum _{k\in \mathbb {N} _{+}}\lambda (k)k^{1-2s}\,.$

Zur gelösten Aufgabe