Elliptische Kurve/L-Reihe/Rekursionsbedingung/Beziehung zu Abweichungszahlen/Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Z}$ mit guter Reduktion modulo einer Primzahl ${}p$. Es seien ${}a_{p^{r}}$ die in der Definition rekursiv definierten Zahlen und es seien

${}b_{p^{r}}:=p^{r}+1-{\#\left(E_{p}({\mathbb {F} }_{p^{r}})\right)}\,.$

Zeige, dass die Differenzen ${}f_{r}=b_{p^{r}}-a_{p^{r}}$ die Rekursion

${}f_{r+1}=a_{p}f_{r}-pf_{r-1}\,$

mit ${}f_{0}=1$ und ${}f_{1}=0$

erfüllen.

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