Elliptische Kurve/Legendre Normalform/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es ist

   ${}X(X-1)(X-\lambda )=X^{3}-(\lambda +1)X^{2}+\lambda X\,.$

   Mit dem Ansatz

   ${}X=W+{\frac {\lambda +1}{3}}\,$

   ist dies gleich

   ${}{\begin{aligned}X^{3}-(\lambda +1)X^{2}+\lambda X&={\left(W+{\frac {\lambda +1}{3}}\right)}^{3}-(\lambda +1){\left(W+{\frac {\lambda +1}{3}}\right)}^{2}+\lambda {\left(W+{\frac {\lambda +1}{3}}\right)}\\&=W^{3}+{\frac {(\lambda +1)^{2}-2(\lambda +1)(\lambda +1)+3\lambda }{3}}W+\left({\frac {\lambda +1}{3}}\right)^{3}-(\lambda +1)\left({\frac {\lambda +1}{3}}\right)^{2}+\lambda \left({\frac {\lambda +1}{3}}\right)\\&=W^{3}+{\frac {-(\lambda +1)^{2}+3\lambda }{3}}W-2{\frac {(\lambda +1)^{3}}{27}}+{\frac {\lambda (\lambda +1)}{3}}\\&=W^{3}+{\frac {-\lambda ^{2}+\lambda -1}{3}}W+{\frac {-2(\lambda +1)^{3}+9\lambda (\lambda +1)}{27}}\\&=W^{3}+{\frac {-\lambda ^{2}+\lambda -1}{3}}W+{\frac {-2\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda -2}{27}}.\,\end{aligned}}$

2. Eine längere Rechnung (siehe Aufgabe und Aufgabe) zeigt

   ${}{\begin{aligned}4a^{3}+27b^{2}&={\frac {4(-\lambda ^{2}+\lambda -1)^{3}+(-2\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda -2)^{2}}{27}}\\&={\frac {-27\lambda ^{4}+54\lambda ^{3}-27\lambda ^{2}}{27}}\\&=-\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}.\end{aligned}}$

3. Es ist

   ${}j(E)=-{\frac {12^{3}(4a)^{3}}{\Delta }}=-{\frac {4^{3}\cdot 4^{3}{\left(-\lambda ^{2}+\lambda -1\right)}^{3}}{2^{4}\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}}=-2^{8}{\frac {{\left(-\lambda ^{2}+\lambda -1\right)}^{3}}{\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}}=2^{8}{\frac {{\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)}^{3}}{\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage