Elliptische Kurve/Legendre Normalform/Grundlegende Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2,3$ und es liege eine elliptische Kurve ${}E$ über ${}K$ in Legendrescher Normalform

${}y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )\,$

vor. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Eine kurze Weierstraßgleichung von ${}E$ ist durch

   ${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

   mit

   ${}a={\frac {-\lambda ^{2}+\lambda -1}{3}}\,$

   und

   ${}b={\frac {-2\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda -2}{27}}\,$

   gegeben.

2. Die Diskriminante von ${}E$ ist

   ${}\Delta (E)=2^{4}\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}\,.$

3. Die ${}j$-Invariante von ${}E$ ist

   ${}j(E)=2^{8}{\frac {(\lambda ^{2}-\lambda +1)^{3}}{\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen