Elliptische Kurve/Q/L-Funktion/Birch Swinnerton-Dyer/Bemerkung

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Es sei eine elliptische Kurve über und sei die -Reihe zu . Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer besagt, dass die Nullstellenordnung von in (was voraussetzt, dass es eine holomorphe Fortsetzung in diesen Punkt gibt, siehe Fakt) mit dem Rang von übereinstimmt. Die Nullstellenordnung nennt man auch den analytischen Rang der elliptischen Kurve, so geht es bei der Vermutung also darum, dass der (gruppentheoretische) Rang mit dem analytischen Rang übereinstimmt. Dieses Problem gehört zu den sogenannten Milleniumsproblemen. Es ist bekannt (Ergebnisse von Kolyvagin, Gross, Zagier), dass wenn der analytische Rang gleich ist (die -Funktion also keine Nullstelle in besitzt), dass dann der Rang gleich ist, und dass, wenn der analytische Rang gleich ist, dann auch der Rang gleich ist.

Ein Spezialfall dieser Vermutung ist die Behauptung, dass genau dann eine Nullstelle in besitzt, wenn der Rang ist, was äquivalent dazu ist, dass unendlich viele rationale Punkte besitzt. Davon ist die Rückrichtung bekannt.