Elliptische Kurve/Q/Modularitätssatz/Fakt

Modularitätssatz

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$ und sei

${}L(E,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}\,$

die zugehörige ${}L$-Reihe.

Dann gibt es eine natürliche Zahl ${}N$ derart, dass die Funktion

${}g(z):=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}e^{2\pi {\mathrm {i} }nz}\,$

eine Modulform bezüglich ${}\Gamma _{0}(N)$ vom Gewicht ${}2$ ist.

Das bedeutet, dass ${}g$ die funktionale Identität

${}g(Mz)=(cz+d)^{2}g(z)\,$

für jedes ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)$ erfüllt.

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