Elliptische Kurve/Q/Y^2 ist X^3-X+6/Reelle Extrema/Endliche Erweiterung/Aufgabe

Wir betrachten die elliptische Kurve ${}E$, die durch die affine Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}-X+6\,$

gegeben ist.

1. Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${}2$ für ${}E(\mathbb {R} )$.
2. Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${}2$ für ${}E({\mathbb {C} })$.
3. Parametrisiere den oberen Bogen von ${}E(\mathbb {R} )$ als Funktion über einem geeigneten Definitionsbereich.
4. Bestimme die Koordinaten der Punkte von ${}E(\mathbb {R} )$, wo die Funktion aus (3) lokale Extrema annimmt.
5. Beschreibe eine endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ derart, dass die Punkte aus Teil (4) zu ${}E(K)$ gehören.

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