Elliptische Kurve/Q/Y^2 ist X^3-X+6/Reelle Extrema/Endliche Erweiterung/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}X^{3}-X+6=(X+2)(X^{2}-2X+3)\,.$

   Ferner ist

   ${}X^{2}-2X+3=(X-1)^{2}-1+3=(X-1)^{2}+2\,$

   und daher besitzt dieses kubische Polynom keine weitere reelle Nullstelle. Die reelle Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}\leq 2$ ist also ${}\{{\mathfrak {O}},(-2,0)\}$.

2. Über ${}{\mathbb {C} }$ gibt es die zusätzlichen Nullstellen ${}\pm {\sqrt {2}}{\mathrm {i} }+1$, die komplexe Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}\leq 2$ ist also ${}\{{\mathfrak {O}},(-2,0),(1+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} },0),(1-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} },0)\}$.
3. Der obere Bogen wird auf ${}\mathbb {R} _{\geq -2}$ durch die Funktion

   ${}y={\sqrt {x^{3}-x+6}}\,$

   beschrieben.

4. Wegen der strengen Monotonie der Quadratwurzel bestimmen wir die lokalen Extrema von ${}x^{3}-x+6$. Die Ableitung ist ${}3x^{2}-1$, die Nullstellen sind

   ${}x_{1,2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {3}}}\,.$

   Bei ${}(-2,0)$ liegt ein globales Minimum vor, bei ${}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$ ein lokales Maximum mit dem Wert

   ${}{\begin{aligned}{\sqrt {-\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{3}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}&={\sqrt {-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}\\&={\sqrt {{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}\\&={\sqrt {\frac {2{\sqrt {3}}+54}{9}}}\\&={\frac {\sqrt {2{\sqrt {3}}+54}}{3}}\end{aligned}}$

   und bei ${}{\frac {1}{\sqrt {3}}}$ ein lokales Minimum mit dem Wert

   ${}{\begin{aligned}{\sqrt {\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{3}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}&={\sqrt {{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}\\&={\sqrt {-{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}\\&={\sqrt {\frac {-2{\sqrt {3}}+54}{9}}}\\&={\frac {\sqrt {-2{\sqrt {3}}+54}}{3}}.\end{aligned}}$

5. Die Punkte sind alle über dem Körper

   ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {2{\sqrt {3}}+54}},{\sqrt {-2{\sqrt {3}}+54}}]\,$

   definiert.

Zur gelösten Aufgabe