Elliptische Kurve/Q/Y^2 ist X^3-X/Reelle Extrema/Endliche Erweiterung/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   $y=f(x)=\sqrt{x^3-x},$

   für  $x\in [-1,0]$  ist

   $x^3-x=x(x-1)(x+1)$

   nichtnegativ.

2. Der gesuchte Punkt ist das Maximum der Funktion

   $f(x)$

   auf $[-1,0]$. Zur Bestimmung dieses Extremum ziehen wir die Ableitung heran. Es ist

   $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3x^2-1}{\sqrt{x^3-x}}.$

   Die Nullstellenbedingung wird zu

   $x^2=\frac{1}{3},$

   wobei nur

   $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

   im Intervall liegt. Der Wert an dieser Stelle ist

   $\begin{array}{cc}y& =\sqrt{-{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^3+\frac{1}{\sqrt{3}}}\\ & =\sqrt{-\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}}\\ & =\sqrt{\frac{-1+3}{3\sqrt{3}}}\\ & =\sqrt{\frac{2}{3\sqrt{3}}}\\ & =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}\sqrt[4]{3}}.\end{array}$

   Es ist also

   $P=(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}\sqrt[4]{3}}).$

3. Der Punkt $P$ liegt in der endlichen Körpererweiterung

   $K=\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt[4]{3}]$

   (vom Grad $8$ über $\mathbb{Q}$).

Zur gelösten Aufgabe