Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3-X/Gruppenstruktur/Z mod 5/Aufgabe/Lösung

Das kubische Polynom besitzt die Faktorzerlegung

${}X^{3}-X=X(X-1)(X+1)\,,$

daher gibt es neben ${}{\mathfrak {O}}$ die drei Punkte ${}(0,0),\,(1,0),\,(4,1)$ der Ordnung ${}2$, die die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${}2$ bilden, siehe Fakt.

Ferner gibt es die Punkte ${}(2,1),\,(2,4),\,(3,2),\,(3,3)$. Die Gruppe besteht also aus acht Elementen. Aus gruppentheoretischen Gründen kommen nur ${}{\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{3}$, ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)$ und ${}\mathbb {Z} /(8)$ in Frage. Die letzte Gruppe besitzt nur zwei Elemente der Ordnung ${}\leq 2$, das kann also nicht sein, die erste Gruppe besitzt nur Elemente der Ordnung ${}\leq 2$, was wegen dem zitierten Satz auch nicht sein kann. Der Isomorphietyp der Gruppe ist also ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)$.

Zur gelösten Aufgabe