Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3-X/Reduktionsverhalten/Beispiel

Wir betrachten die elliptische Kurve ${}E$, die durch die affine Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}-X=X(X-1)(X+1)\,$

gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind

$2Y\,\,{\text{ und }}\,\,3X^{2}-1.$

Bei  ${}p\neq 2$  verschwindet die erste partielle Ableitung nur bei  ${}Y=0$.  Wegen der Kurvengleichung ist dann  ${}X=0,1,-1$  doch dann verschwindet die zweite partielle Ableitung nicht. Für  ${}p\geq 3$  ist die Kurve ${}E_{p}$ also glatt und es liegt gute Reduktion vor. Bei  ${}p=2$  liegt in ${}(1,0)$ ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten ${}(X-1,Y)$ wird das beschreibende Polynom zu ${}Y^{2}+(X+1)^{3}+(X+1)^{2}$. Wir schreiben dies mit  ${}W=X+1$  als

${}Y^{2}+(X+1)^{3}+(X+1)^{2}=Y^{2}+W^{3}+W^{2}=(Y+W)^{2}+W^{3}\,$

und somit ist dies eine Neilsche Parabel. Es liegt also additive Reduktion vor.