Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3-X/Reduktionsverhalten/Beispiel

Wir betrachten die elliptische Kurve $E$ , die durch die affine Gleichung

Y^{2} = X^{3} - X = X (X - 1) (X + 1)

gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind

2 Y und 3 X^{2} - 1.

Bei $p \neq 2$ verschwindet die erste partielle Ableitung nur bei $Y = 0$ . Wegen der Kurvengleichung ist dann $X = 0, 1, - 1$ doch dann verschwindet die zweite partielle Ableitung nicht. Für $p \geq 3$ ist die Kurve $E_{p}$ also glatt und es liegt gute Reduktion vor. Bei $p = 2$ liegt in $(1, 0)$ ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten $(X - 1, Y)$ wird das beschreibende Polynom zu $Y^{2} + (X + 1)^{3} + (X + 1)^{2}$ . Wir schreiben dies mit $W = X + 1$ als

Y^{2} + (X + 1)^{3} + (X + 1)^{2} = Y^{2} + W^{3} + W^{2} = (Y + W)^{2} + W^{3}

und somit ist dies eine Neilsche Parabel. Es liegt also additive Reduktion vor.